PDF《2016 年福建省泉州市高三质检卷文科第 20 题（Ⅱ）的溯源与...》

4 福建中学数学

2016 年第

6 期CD 是腰 AB 上的高.

求证:

1 2 CD AB = . (2) 如图 16, 一灯柱 AB 被一钢缆CD 固定, CD 与地面成 40°夹角,且5DB = m.在C 点上方 2m 处 加固另一条钢缆 ED ,那么钢缆 ED 的长度为多少? (结果精确到 0.01m)

3 结语 通过多次的中考命题经历,笔者深刻认识到, 以教材例题和习题为 蓝本 命制中考试题,有利 于发挥考试的正面导向功能, 引领学生夯实 四基 , 实现考试的公平公正.同时,加强教材例习题的改 编,能够引导学生在学习新知和复习备考的过程中 重视教材,回归教材,能够使学生在深刻理解教材 知识的同时更有效地形成知识网络体系,让学生有 本可依,培养学习数学的自信心.如果各级各类考 试都能命制出更多更好的以教材的例题习题为基 础,进行恰当改编的考题,必将引导一线教师关注 教材,进而落实 减轻学生过重的课业负担 的新 课程改革初衷.

2016 年福建省泉州市高三质检卷文科第

20 题(Ⅱ)的溯源与推广 吴宝树 黄永生 福建省泉州市第七中学(362000)

2016 年,福建省高考将使用全国课标卷,对课 标卷的研究因此也成为了热点,各地的质检卷无疑 是这一研究成果的很好的体现.在课标卷中,解析 几何的难度较为稳定,突出的特点是圆的地位大幅 上升,特别是文科,近五年的解答题全部涉及到圆, 考查直线与圆的位置关系或直接以圆为背景进行考 查.基于这一特点,在今年各地市的质检试题中, 出现了很多与此背景有关的精彩的试题,本文拟以

2016 年福建省泉州市高三质检卷文科第

20 题为例阐 述笔者的一些思考与认识.

1 试题呈现 (2016 年福建省泉州市高三质检卷・文20)已 知椭圆

2 2

2 2 : 1( 0) x y C a b a b 过点 (2 4) P , 作圆

2 2 :

20 O x y + =的切线 l ,直线 l 恰好过椭圆C 的右 顶点与上顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)若圆O 上一点Q 的切线

1 l 交C 于点 A , B ,试确定 AOB ∠ 的大小,并加以证明. 试题分析 (Ⅰ) 椭圆C 的方程为:

2 2

1 100

25 x y + = . (Ⅱ)若直线

1 l 的斜率不存在时,易得

90 AOB ∠ = ? , 若直线

1 l 的斜率存在,设直线

1 l 的方程为 y kx b = + . 联立方程组

2 2

1 100

25 y kx b x y = + ? ? ? + = ? ? , , 可得

2 2

2 (1

4 )

8 4

100 0 k x kbx b . 设11()Axy,,

22()Bxy,,

则21224100

1 4 b x x k ? = + ,

1 2

2 8

1 4 kb x x k ? + = + , 则22221212122100 ( )

1 4 b k y y k x x kb x x b k ? + . 所以

1 2

1 2 OA OB x x y y ? = + ??? ? ????

2 2

2 5 100(1 )

1 4 b k k ? + = + . 因为直线

1 l 与圆O 相切,

2 | |

20 1 b k = + , 即2220(1 ) b k = + . 所以

2 2

2 5 20(1 ) 100(1 )

0 1

4 k k OA OB k ? + ? + ? = = + ??? ? ???? , 故90 AOB ∠ = ? 为定值. 评析 本题巧妙的糅合了椭圆和圆两种曲线,考 查了圆的切线问题和直线与曲线的位置关系,考查 了与一个圆锥曲线有关的垂直的性质.解析几何的 核心问题是用代数的方法处理几何问题.本题的几 何关系 若圆O 上一点Q 的切线

1 l 交椭圆C 于点 A , B D C E A 图16 D C B A 图15

2016 年第

6 期 福建中学数学

5 B ,则OA OB ⊥ . 圆锥曲线有许多漂亮的统一性质,探寻试题的 背景及其背后的性质,是试题研究的重要方法.那 么本题中的这一几何关系在一般圆锥曲线中是否成 立?

2 问题推广 将本题中的椭圆和圆一般化,可以得到一般性 结论. 结论