PDF《2016 年福建省泉州市高三质检卷文科第 20 题（Ⅱ）的溯源与...》

1 椭圆 ( )

2 2

2 2

1 0 x y a b a b + = >

>

的中心为O , 若与圆

2 2

2 2

2 2 a b x y a b + = + 相切的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,则OA OB ⊥ . 证明 当直线 l 的斜率不存在时,OA OB ⊥ 显然 成立,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 y kx t = + ,

1 1 ( ) A x y , ,

2 2 ( ) B x y , . 因为直线l 与222222abxyab+=+相切, 由2221tab k a b = + + , 可得 ( )

2 2

2 2

2 2

1 a b t k a b = + + . 联立

2 2

2 2

1 y kx t x y a b = + ? ? ? + = ? ? , , 得( )

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2 2

2 2

0 b a k x a ktx a t a b ,

2 1

2 2

2 2 2a kt x x b a k + = ? + ,

2 2

2 2

1 2

2 2

2 a t a b x x b a k ? = + , ( )( )

2 2

2 2

2 1

2 1

2 2

2 2 b t k a b y y kx t kx t b a k ? = + + = + . 所以

1 2

1 2 OA OB x x y y ? = + ??? ? ??? ?

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 a t a b b t k a b b a k b a k ? ? = + + +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 ( ) ( 1) (1 ) a b a b k k a b a b b a k + = +

0 = . 所以OA OB ⊥ . 对于其他圆锥曲线,也有相似的结论: 结论

2 设双曲线的方程为

2 2

2 2

1 x y a b ? = ,当b a >

0 >

时,若与圆

2 2

2 2

2 2 a b x y b a + = ? 相切的直线l 与椭圆 相交于 A , B 两点,则OA OB ⊥ . 结论

3 设抛物线的方程为

2 2 ( 0) y px p = >

, 若直 线AB 与222()(0) x p y p x ? + = ≠ 相切,则OA ⊥ OB . 结论 2,3 证明略.

3 题源探究 这组关于圆锥曲线性质垂直性质源于人教版选 修4-4 第15 页: 已知椭圆中心为O , 长轴短轴长 2a ,

2 ( 0) b a b >

>

, A , B 分别为椭圆上两点,且OA ⊥ OB . (1)求证:

2 2

1 1 OA OB + 为定值;

(2)求AOB ? 面积的最大值和最小值. 由本题中的结论

2 2

1 1 OA OB + 为定值 可推出

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2 2

2 2

2 2 = + OA OB a b a b OA OB ? + 为定值 ,该定值表示原点到 弦AB 的距离的平方,即过原点向弦 AB 引垂线,垂足H的轨迹为圆

2 2

2 2

2 2 a b x y a b + = + ,此时弦 AB 与该 圆相切. 由此不难看出

2016 年泉州市质检文科第

20 题(Ⅱ)正是基于这个课本习题的变式和推广命制 的.

4 结论再推广 对于课本的这一习题,我们简单地进行变式, 就可以得到一组新的性质,使上一组结论得以再推 广. 结论

4 椭圆 ( )

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2 2

1 0 x y a b a b + = >

>

的中心为O , 直线 l 与椭圆交于 A , B 两点,过O 作OH AB ⊥ , 交AB 于点 H ,若OA OB ⊥ ,则点 H 的轨迹方程为

2 2

2 2

2 2 a b x y a b + = + . 结论

5 双曲线

2 2

2 2

1 x y a b ? = (

0 a >

,

0 b >

)的中 心为O ,当0ba>

>

时,直线 ? 与椭圆交于 A ,B 两点, 过O 作OH AB ⊥ , 交AB 于点 H , 若OA ⊥ OB , 则点 H 的轨迹方程为

2 2

2 2

2 2 a b x y b a + = ? . 结论

6 直线l 与抛物线

2 2 ( 0) y px p = >

, 交于 A , B 两点, 若OA OB ⊥ , 过O 作OH AB ⊥ , 则点 H 的 轨迹方程为

2 2

2 ( ) ( 0) x p y p x 限于篇幅,结论 4,5,6 证明略.

6 福建中学数学

2016 年第

6 期 参考文献 [1]陈荣桂,王建鹏.基于教育价值视角的全国卷解析几何命题特点分析 [J].数学通讯,2016(3) :54-56 [2]杨苍洲.从一个质检试题谈圆锥曲线的一个统一性质[J].数理化解题 研究,2015(5) :10-11 [3]黄永生,杨丹.2015 年高考福建文科数学卷第

19 题(Ⅱ)的探究与推 广[J].福建中学数学,2016(2) :11-12 对2015 年一道高考 算法初步 试题的赏析 陈言福建省福州格致中学 (350001)