PDF《方开泰 （香港浸会大学 香港九龙塘）》

当且仅当 ( ) ( ) ( )

0 Cov

2 1 <

n f f x , x .LHS 就是设计试验点使 ( ) ( ) ( )

0 Cov

2 1 <

n f f x , x .具体做 法如下.为了便于理解,设n=8, s=2,LHS 布点的步骤如下: (1) 将试验区域 (不失一般性可设为单位正方形),每边均分

8 份,故单位正方形 被分成 64=82 个小正方形. (2) 随机地取 (1,2,…,8) 的两个置换,例如 (2,5,1,7,4,8,3,6) 和(5,8,3,6,1,4,7,8)

12 将它们排成一个矩阵, 得.由矩阵的每一行 (2,5)、 (5,8)、 …、 (6,2) 决 定了

8 个小正方形,如图

1 (a),我们看到,每行、每列有一个小正方形. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 6

7 3

4 8

1 4

6 7

3 1

8 5

5 2 (3) 在已选中的

8 个小正方形上分别选点,使小正方形中的每个点被选中的机会 相等,于是得图 1(b)的结果.这8个点就是一个 LHS.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 * * * * * * * * (a) (b) 图1LHS (n=8, s=2) 理论上可以证明,LHS 的样本均值的方差为 ( ) ( ) ( ) ( ) ,

0 1 Var

1 Var >

? ? ? ? ? ? + ? = c n n c f n D y LHS , x ο (2.5) 故LHS 比随机抽样的方案好,因为其样本值有较小的方差. 均匀设计也是考虑了 总均值模型 ,由数论方法中著名的Koksma-Hlawka 不等式,可得, n n D D f V D y y E ≤ ? (2.6) 式中 V (f) 是函数 f 在C 上的总变差,函数 f 平稳,V (f) 则小,函数 f 波动大, V (f) 则大;

D 为点集在 在 上的偏差, 偏差是度量点集均匀性的一种 测度.显然,我们希望 越小越好,即点在C 上散布越均匀越好.仍以 n=8, s=2 为例,UD 构造的步骤如下: s D ( n D ) n D ( ) n s C D s [i] 将试验区域每边均分

8 份,共得 个小正方形.

64 82 =

13 [ii] 考虑在

64 个小正方形中选取

8 个小正方形, 使得每行每列恰有一个小正方形. 这种取法共有 种,对每一种取法,将试验 放在小正方形之中心.然后比较这幺多设计的偏差 (即均匀性),使偏差达到 最小的一个即为均匀设计.

400 702

625 1

40320 8

8 2 , , , ! ! ≈ = * = N 图2均匀设计 (n=8, s=2)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 * * * * * * * * LHS 及UD 的构造均需要 U-型设计的概念. 定义一: 有n次试验,s 个输入变量的任一个 U-型设计可表成一个 n*s 的矩阵, 第j(j=1,…, s) 列的元素由 1, 2,…, qj 组成,且这 qj 个数出现的次数相同.该设计 记为U .若某些 q ( s q q n * *L

1 ;

) j 相等时,该设计为 ( ) m r m r q q n * *L

1 1 ;

( ) s q n;

U , 为 正整数,且 .当 时,记为U . m r r , ,L

1 s = r r m + +L

1 q q q s = = =L

1 在文献中, U-型设计又称为均衡设计 (Balanced design) 或格子点设计 (Lattice design).

3 LHS 的发展 LHS 在西方十分流行, 有关的文章很多, 综合评述的文章不少, 如Sack, Welch, Mitchell and Wynn (1989), Betes, Buck, Riccomango and Wynn (1966), Koehler and Owen (1996).熟悉随机抽样的人都知道,随机抽样的表现不稳定,故LHS 提供的 设计,有的很好,也有的很差.例如图