PDF《教学年刊》

教学年刊18A:

3 (

1 9

9 7 ) ,

2 9

3 -

2 9

8 9

2 7 ;

一7J5维 Be r n s t e i n .

J o r d a n代数的导子代数料林磊+ 提要

(二)IColTe&

和 L A P e r e s i 对实数域 上的 5维Bernsteiu-Jordan代 数进行 了分类 .本 文在此 基础 上,确定 了这些 代数的 导子代 数关t调Bems t e i n . J . m a 代数,i!堡量域MR (

1 9

9 1 )主分粪

1 7 AI O ,

1 7

1 3

4 0 ,

1 7 C9

9 中田 法分 粪O1

5 3.

3 ― J 教一l}H取 , B e r n s t e i n 代数这一概念是 由P.Holgate在考虑对在第 二代 达到平衡 的人 口进 行分 类的Be r n s t e i n问题 时提 出的 I

1 ] . 域 上的交换 的非结合代数 A 叫做 Be r n s t e i n代数,如果存在一个非零 的代数 同态 : A― , 满足条件 . . .= ( z ) . , V x∈A 同态 u是 唯一确 定的,称为 A的权函数. J o r d a n代数 A是一个交换 的非结合代数 ,并满足条件 ( . . y ) x一.(yx):0 , , ∈A . 实数域上 的 5维 Be ms t e i n J o r d a n代数 已由巴西学者 I C o r r e a和L.A. P e r e s i 给出了分类

1 2

1 . 他 们证 明了共有

2 0个不同构的实

5 维Bernstein―Jordan代数. 域 上的代 数 A的线性变 换 6称为 A 的导子 ,若 6满足 ( ) = ( ) +(

6 z ) V x , y∈A . A上 的导子全 体组成 的集合记为 D e r A , 称为 A的导子代数. D e r A是一个李代数

1 3

1 . 本 文的 目的是要 确定这

2 0 个代数 的导子代数.本文 中所用的符号与 【

2 l 相同. 以下 我们总假设 A是一个以 u为权函数的实数域 皿上的有 限维 B e r n s t e i n J o r d a n 代数 .设 e是 A的一个幂等元.则A=/ R e0N, 其中N=∈A I ( z ) :0 } . 本文1996年 4月2日收到. ・ 华 东师范大学 数学 系,上拇

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0 0

6 2 ¨ 国家教委 博士点基盘 资助 的项 目. 维普资讯 http://www.cqvip.com 数学年刊18卷 A 辑则N=U0Z, 其中 U={ n ∈NI e =吉,z={ n ∈NI e 铊=0 子空 间u, z满足条件 U . c Z , UZ c z =0 . (

1 ) 设rdimU , s= d i mZ 、 则+1,s)是 A 的不变 量,称为A的型 .在A中选 定一组基 e , 一, u , l , , ,其中 u

1 . … , u ∈U,

1 , … , ∈Z, 则DerA同构于 g z (

1 +r +s , 鳓 的一个子代数. 任给 6∈D e r A, 设一置量勺,lJ=lJ=l{札 =b i e +∑ b j ~ u i +∑

6 z j .

1 , … , r , l , =1 j =x c / 量c ;

暑,…, '

引理

1 设A=皿e 0N 是Benastein-Jordan代数.

6 ∈D e r A, 则(i)6 e∈U, , S U cN,

6 ZcⅣ;

( i i ) 若U:0 , 则,SUcu: ( i ) 若UZ:0 , 则,SZcZ证由e=e得,Se=2 e $ e .所以 &

=

2 e ( a e + ∑ . + ∑ 勺)=2ae+∑ajui.得a=

0 , a =

0 , j=

1 ,一,s.故∈U 由{u;

=e u ;

得{=( e ) +e ( u ) , 因此 扣=∑a j u j u + b l e + b j . 一JJ由于 U c Z , 故6,:0 , 即6UcN . 若U2=0 则{6;

{ ∑b j l u j 得,SUcU . , 由ezl=0得(e)+e ( ) =0 、 故∑+cie+÷∑弓

0 . J ― J 又因 U Z c U , 故得 c =0 , 即,SZCN. 假设 U Z=0 , 则{∑弓 , =0 , 从而 z c Z . 定理

1 设 A是 B e r n s t e i n - J o r d a n代数.且N. =0 , 则任给 ∈D e r A , 有e∈ u c z cz . (

2 ) 反之,若 6是 A 上的线性变换 ,且满 足(2),则∈De r A. 证 任给

6 ∈D e r A, 由N. =0得U=UZ=0 , 故 由引理 1知满足(2).反之 .若是A的线性变 换,且满足 (

2 ) , 则直接验证知 ∈D e r A. 推论1设A是Bernstein―Jordan代数,且N. :

0 , 若A是+1 , s ) 型的,则di mD e r A = r+ r 2+ s

2 . 维普资讯 http://www.cqvip.com 3期韩磊5维 Be t n s t e i n - J o r d a a代 数的导 子代数 下面,我们来考虑