PDF《数学通报》

50 数学通报 2017年第56卷第2期 先猜后证 是解决存在性探究问题的有效途径① 邱宗如 (福建省厦门市海沧区教师进修学校361026) 所谓 存在性探究问题 就是探索满足确定条 件的某一数学对象(如点、数值等)是否存在.

存在 就是有满足确定条件的数学对象,此时需要求 出它们来;

不存在 则需说明理由. 由于存在性探究问题中的结论成立与否对问 题的解决有直接的影响,所以如果事先能够探明 结论 就显得至关重要了.我们知道, 对普遍情 况适用的对其中的特殊情况也必能适用;

这是逻 辑方面的常识.…从特殊到普遍,是我们获得知识 的最基本的途径 .[1]所以解决存在性探究问题的 一种有效策略是 先猜后证 .即从满足条件的特 殊情形人手,若找到这个可能的数学对象,则再通 过逻辑推理给出一般的肯定性证明;

否则,可借助 反例予以证伪. 例1(2015四川高考理科20题改编)过点 P(o,1)的动直线￡与椭圆c:等+告一1相交于 A,B两点.在平面直角坐标系z回中,是否存在 与点P不同的定点Q,使得黜一蹦恒成 立?若存在,求出点Q的坐标;

若不存在,请说明 理由.[21 解析如果这个点Q存在,它的坐标可能是 什么?因为事物的一般性寓于特殊性之中,并通 过特殊性表现出来,没有特殊性就没有一般性.所 以通过特殊化可以找到这个可能的点. 假设点Q存在,因为对过点P(o,1)的任意 一条直线z,均有黜一器恒成立,因此我们 选择对过点P(o,1)的一条特殊直线――垂直予 y轴的直线,也应该有黜一胤成立. 如图1,因为此时IPAI―IPB},所以应该有 QA f=i QBi, y B历、4 f )『 L

4 /算7 图1 即点Q在线段AB的垂直平分线上,亦即此 时点Q在了轴上. 所以可设这个点的坐标为Q(O,y.). 但是y轴上的点有无穷多个,点Q到底是哪 个定点? 下面让我们继续考察直线z的特殊情形―― 直线z垂直于z轴,它与椭圆交于A(o,√2),B(o, 一√2)两点. 女日图2,此时黜一错也应该成立, y. - 厂、、. 力l主/曰①本文系福建省教育科学 十二五 规划2015年度课题 高中统计案例教学研究 (项目编号￡ijkl5―224)的研究成果 万方数据 解得了.=1或yo=2. 所以不同予点P的定点Q的坐标只能为(o, 2). 这实际上是得到了结论成立的一个必要 条件! 即如果满足题目要求的点Q存在,它只能是 (O,2)! 下面从一般的角度证明,对于点Q(O,2),过点P(o,1)的动直线z与椭圆c:等+等一1相交 于A'

B两点,使黜一斟恒成立即可. 当z与两条坐标轴都不垂直时,怎样证明点 Q(O,2)符合要求呢? 如图3,注意到线段PA与QA在z轴上的 投影重合,线段PB与QB在z轴上的投影也重 合,所以可分别作AC上y轴于C,BD上y轴于D. ,'

Q 汐}./B痧 √一1 . 4一/x 观察图形,不难发现RtACP∽RtBDP, 所以爨=]器. 欲证结论成立,只需证明糌=]蛤斟, 只需证明RtACQ∽RtBDQ即可. 证明 当z与两条坐标轴分别垂直时,由上 可知,结论成立. 当直线￡与z轴不垂直时,设其方程为y2志z +1. ry=志z+1, 由气鲁+萼=1得Q驴+D z2+4志z一25 o'

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0,设A(z.,J1),B(z2,y2), 则z.h=赭,mz=鼎. 因为矗劬=紫=譬, 后∞:譬一譬. 所以忌口A+曼QB一2愚一(去+去) 一2是一兰些=0, Z122 所以么AQC一么BQD,所以RtACQ∽ RtBDQ. 所以有黜一蠲. 又RtACP∽RtBDP, 所以豁一器. 所以黜=黼. 综上,存在与点P不同的定点Q(o,2),使得 黜=胤恒成立. 本题的解决是首先假设这个点Q存在,其次 是通过一种特殊情形猜测出这个可能点在y轴上, 变大海捞针为池塘捉鱼 ;

再借助另一种特殊 情形得到点Q的坐标,将目标集中于一点Q(o, 2).在验证一般情形结论也成立的过程中,充分发 挥了几何图形的直观作用,比较容易地发现了证 明的关键环节,即两组直角三角形的相似.借助几 何直观可以发现、描述研究的问题,把复杂的数学 问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思 路、预测结果. 例2(2011年自招 华约 14题改编)已知 双曲线c:事一孝.1(n>

o),F,,

Fz分别为c的左、右焦点,设A为C的左顶点,Q为第一象限内 C上的任意一点,问是否存在常数A(A>

o),使得 么QF.A=A么QAF,恒成立.若存在,求出A的值;

若不存在,请说明理由.[21 解析如果不知道这个常数A是否存在,以 及存在时A等于多少,那么直接求解不但几乎不 可能,甚至连求解的方向都找不到.反之,如果我 们能预先把常数A的值确定下来,无疑对寻找证 明是有利的,那么如何确定A的值呢?若我们确 信这个常数是存在的,就应该从特殊情形入手,找 到这个可能的常数,并希望由此发现解题的可能 思路. 假设存在常数A(J=I>

0),使得么QF2 A

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52 数学通报 2017年第56卷第2期 A么QAFz恒成立. 则对于第一象限内双曲线C上的任意一点 Q,么QF2A―A么QAF2都应该成立, 特别地,当QF.上卫轴时,么QF.A― A么QAF.也成立. 如图4,此时点Q的坐标为(2乜,3n), 又A(一口,O), 所以直线AQ的斜率等于1,即么QAF2―45.. 又么QF:A一90.,所以么QFzA一2么QAF2. 于是,我们完全有理由猜想所求的常数A如 果存在,那么它一定等于2. 当然,这只是个猜想,正确与否还有待于从一 般的角度予以证明,即验证. 、 Q l 1'

L / ≮ 图4 弋'

彳. j} |7 图S 证明 当Q既上z轴时,么QF2A一2么QAF2. 如图5,当QF.不垂直于z轴时,设Q(s,￡) 则手一毒=1,即灶3滢《). 所以tan么QF.A一一i%=夏圭i. 因为tan么QAFz一南, .,... 2*南2￡(s+n) tan2么QAFz.嵩2看黹 卜(南) ~'

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、3 I , 一;

!!!±垒! : ! 所以,存在常数2,使得么QF2A一2么QAF2 数学事实首先是被猜想然后是被证实. (波 利亚语)对于这个问题,我们先假设探究的数学对 象A存在(即结论成立),执果索因,通过特殊情形 猜想出A的可能值,由此展开必要的逻辑推理. 在本文的两个存在性探究问题中,因为题设 中并不知道这个定点或参数的值是否存在,以及 如果存在它们是什么,所以求解会有一定的困难. 通过特殊情形猜出这个定点的坐标或参数的值, 则问题完全就变成验证了.而验证是有明确方向 的,因此就简单得多.毕竟论证一个结论明确的数 学命题比解决一个不明就里的数学命题要来得容 易一些. 值得指出的是,并非所有存在性探究问题都 有肯定的答案.如,设O为坐标系的原点,动直线 即2 z与椭圆c:等+y2―1交于A,B两点,且 '

士 么AO曰一90.,请问是否存在一个定点H,使得动 直线z恒过点H?若存在,求出点H的坐标;

若 不存在,请说明理由. 如图6,设椭圆 C与坐标轴分别交 于P,Q,M,Ⅳ,显然 么姗=么NOP一90.,但是直线MQ 与直线NP并没有 公共点,即它们不过 同一点.进而可知不 少k厂―爿小. P D fH向j .迎N图6 存在满足条件的定点H. 对于存在性探究问题,如果通过两次不同的特 殊情形得到不同的结论,那么可以肯定探究的数学 对象就不存在,即通过反例证明结论是错误的. 但是,没有大胆的猜想,就没有伟大的发现. 猜想数学命题和解题思路是数学研究中重要的思 维过程.需要注意的是,任何一个有价值的 猜想 都不是空穴来风,它与无方向的乱猜,或者用掷骰 子的方法碰运气是格格不入的.它需要对数学基 础知识的精准理解和数学思想方法的灵活运用. 几乎每一个复杂或困难问题的求解都会经历探 索、尝试、猜想等过程,有时需要大胆地跳跃到某 种结论上(即先有一个大致的方向),然后,再去小 心地求证. (下转第55页) 万方数据 2017年第56卷第2期 数学通报

55 如图4,当点M在抛物线C内部时,作出的 四边形是蝶形. M 图6 如图6,当点M在圆锥曲线C外且MA,与C 相切时,A.与Az重合.而A.A.∥A,A.,则A.、A. 也重合,四边形A,A.A.A.被 压成 了一条线段. 但0M平分弦的结论仍成立,由此可得常见结论: 命题3一个点关于圆锥曲线的切点弦被过 该点的直径平分. 当圆锥曲线为抛物线时, 过该点的直径 意即 过该点且平行于其对称轴的直线 . 如图7(各字母含义同图2),当圆锥曲线C退 化为一对相交直线时作法仍成立.此时可以将其 表述为如下平面几何命题: 命题4如图7,直线z,、 Z.相交于点o,A,、N在z,上 且关于点0对称.过点N作 直线NA.∥0.M且交直线z.4 于点A.,作直线MA.、MA. 分别交zz、z.于点A.、A.,则A2A3∥A1A4. 图7 命题4不必使用同一法就可直接证明.有兴 趣的读者不妨一试. 当圆锥曲线C退化为圆或者退化为一对平 行线时,比较简单,此处不再赘述. 最后说明一点: 知圆锥曲线C的中心o 这 个条件是不必要的.因为圆锥曲线的平行弦的中 点轨迹必过其中心,因此只需作出两组平行弦的 中点轨迹,那么其交点就是中心.但为表述方便, 题目中保留了这个条件. 参考文献 l张金良.限定条件下顶点均在双曲线上的梯形的存在性探究 口].数学通报,2016(6):47―49,封底 2张金良.在限定条件下椭圆及抛物线内接梯形存在性的探究 口].数学通报,2015(4):46―47,61 3梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M].北京:高等教育出版 社,1983:199―205. (上接第52页) 本文表明,通过特殊化而获得一般性结论是 猜想的有效途径之一.对此数学大师希尔伯特有 精彩的论述: 在讨论数学问题时,我们相信特殊 化比一般化起着更为重要的作用.可能在大多数 场合,我们寻求一个问题的答案而未能成功的原 因,是在于这样的事实,即有一些比手头的问题更 简单、更容易的问题还没有完全解决或是完全没 有解决.这时,一切都有赖于找出这些比较容易的 问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念 来解决它们. [31 著名数学教育家乔治・波利亚对 猜想 亦非 常重视,把它列为对数学教师的基本要求之一,他 认为 在数学领域中,猜想是合理的,值得尊敬 的 .他还向所有数学老师呼吁: 让我们教猜想 吧! [43他语重心长地告诫我们, 先猜后证 是大 多数情况下的发现过程.数学教师有极好的机会 向学生说明猜想在发现过程中的作用,以此给学 生奠定一种重要的思维方式.并希望数学教师在 这方面不要忽略了对学生的要求:让他们学会猜 想问题. 求解圆锥曲线存在性探究问题是教学生猜想 的一个极好机会,有意识地进行 先猜后证 的思 维训练,对于提高学生的解题能力,提升数学核心 素养是极为有益的. 参考文献 [1]莫绍揆.谈谈普遍与特殊[J].数学通报,1998(9) [2]王芝平,王坤.决胜高考数学压轴题(理科)[M].合肥:中国科 学技术大学出版社,2016,12t157―159,161―163 [3][德]D・綦尔伯特.数学问题[M].李文林,袁向东译.大连:大 连理工大学出版社,2009,1:46 [4][美]G・波利亚.数学与猜想(第二卷)――合情推理模式 [M].李志尧等译.北京:科学出版社,2005,6:177 万方数据 ........