PDF《关于Pru》

第18卷第1期数学研究与评论Vol .

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8 年2月JOU RNAL O F MA THEMA T ICAL RESEARCH AND EXPO S IT I ON Feb.

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9 8 关于Pru β fer 环的特征刻画Ξ曾姣华(湖北大学数学与计算机科学学院, 武汉430062) 摘要本文用可除模给出了 Pru β fer 环的一个充分必要条件. 关键词 正合列, 可除模, 内射模, Pru β fer 环. 分类号 AM S(1991) 16E60 CCL O 153.

3 如众周知, 赋值环、 代数整数环、 D edekind 环以及非紧致 R iem ann 面上的复解析函数环都 是Pru β fer 环.因此 P ru β fer 环的研究对赋值论、 代数数论以及复分析等数学分支都是有意义的. 由于D edekind 环是 P ru β fer 环, 因此 P ru β fer 环必有一些与D edekind 环相类似的性质. 比如, 整环R是D edekind 环当且仅当它的每一个可除模都是内射模 (见[1 ]中p220定理18). 自然会 问, 对于 P ru β fer 环能否利用其上的可除模所满足的性质来加以刻画?本文就此给出了一个充 要条件, 肯定地回答了这一问题, 同时也推广了D edekind 环上的一些相应结论. 本文中环 R 指有单位元的结合环, 模指左酉模, 整环指有单位元、 无零因子可换环. 为后文所需, 先给出以下的三条引理. 引理1 [1 ] 设R为整环, I 为R的一个非零理想, 则I为投影 R 2模的充要条件是 I 为可逆 的.引理2 [2 ] 设M 为一 R 2模, I 为R的一个理想, 则Ext

1 R (R I,M ) = 0当且仅当Π f ∈Hom (I,M ) , ? g ∈Hom (R ,M ) 使得 g I = f (ag I 为g在I上的限制). 引理3 设R为任一环,A 为任一 R 2模, 则对任一内射模的同态象D 恒有 Ext

1 R (A ,D ) =

0 的充要条件是对任一 R 2模M , 恒有 Ext

2 R (A ,M ) = 0. 证明 必要性 因对任一 R 2模M 有正合列 0→ M →Q →D →0, 其中Q 为内射模,D = Q M 为Q 的同态象. 用HomR (A , - ) 函数作用于这个正合列, 得长正合列 …→Ext

1 R (A ,Q ) →Ext

1 R (A ,D ) →Ext

2 R (A ,M ) →Ext

2 R (A ,Q ) →…. 由于Q 为内射的, 必有 Ext

2 R (A ,Q ) = 0. 由已知 Ext

1 R (A ,D ) = 0, 故Ext

2 R (A ,M ) = 0. 反过来, 由 以上正合列并注意Q 的内射性也使 Ext

1 R (A ,Q ) = 0, 由上述长正合列及 Ext

2 R (A ,M ) = 0即知 Ext

1 R (A ,D ) = 0. 下面证明本文的一个主要定理, 从中可以看出 P ru β fer 环与D edekind 环的一个差距 . ―

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1 ― Ξ 1995年3月11日收到. ? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 定理4 整环 R 为Pru β fer 环当且仅当 R 上的任一可除模M 满足 Ext

1 R (R I,M ) = 0, 其中I为R的任一有限生成理想. 证明 必要性 若R为Pru β fer 环,M 为可除 R 2模, I 为R的任一有限生成理想, 则I为投 射R2模, 由引理1知I可逆. 于是存在 q1, …, qn ∈Q (R ) (R 的商域) , a1, …, an ∈ I, 使得∑ n i=

1 qiai = 1, 且qi I Α R , i = 1, 2, …, n. 对Πf∈Hom (I,M ) , 因M 为可除模, 故有 x i ∈M , 使得 aix i = f (ai). Π Β∈ I, Β= ∑ n i=

1 Βqiai, f (Β) = ∑ n i=

1 Βqif (ai) = Β∑ n i=

1 qiaix i . 令x=∑ni=

1 qiaix i, 取g: R →M 使g(Α ) = Α x , Π Α∈R. 则g∈Hom R (R ,M ) , 且gI=f.由引理 2, Ext

1 R (R I,M ) = 0. 充分性 设I为R 的任一有限生成的理想, 若Q 为任一内射模, 则Q 可除, 从而其商模D 可除. 由假设知Ext

1 R (R I,D ) = 0. 由D 的任意性及引理3 知, 对任一R 2模M , 均有Ext

2 R (R I, M ) = 0, 由此得 p d (R I) ≤

1 (p d 表示投射维数). 从而 p d (I) = 0, 即I为投射模, 故R为Pru β fer 环. 显然, 若M 为一R 2模, 且对R 的任一有限生成理想 I 恒有 Ext

1 R (R I,M ) = 0, 则M 是可 除模. 事实上, 对Πr∈R , r ≠ 0, Π a ∈M , 令I=(r) (由r所生成的理想) , 则有Ext

1 R (R I,M ) = 0. 取f∈Hom (I,M ) 使得 f (r) = a, 由引理 2, 存在 g ∈Hom (R ,M ) 使得 g I = f . 令g(1) = x , 则rx = rg (1) = g (r) = f (r) = a. 故M 为可除模. 于是, 定理

4 可改写成下列形式: 定理 4′ 设R为整环, 则下列两点等价: (1) R 是Pru β fer 环;

(2) M 是可除模当且仅当对所有有限生成的理想 I, Ext

1 R (R I,M ) = 0. 注意到D edekind 环的另一特征性质: 对无零因子可换环 R , R 为D edekind 环的充分必要 条件是一切可除 R 2模都是内射的, 由定理4立得如下推论 . 推论1 P ru β fer 环R为D edekind 环的充分必要条件是 R 为N oether 环.由此可以看出 P ru β fer 环与D edekind 环的又一差距 . 作者对佟文廷教授的指导深表谢意. 参考文献[1 ] 周伯埙, 同调代数, 科学出版社, 1988. [2 ] P. V amo s, Ideals and m odules testing injectiv ity , Comm. in A lg. , 11: 22(1983) , 2495- 2505. [3 ] J. P. Jans, R ings and hom ology , Ho lt, R inehart and W inston, N ew Yo rk, 1964. ―

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1 ― ? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.