PPT《第六章 稳定性模型》

第六章 稳定性模型 6.

1 捕鱼业的持续收获6.2 军备竞赛6.3 种群的相互竞争6.4 种群的相互依存6.5 种群的弱肉强食 稳定性模型 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ――平衡状态是否稳定. 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性. 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源(渔业、林业等)与非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发――在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益. 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下,如何控制捕捞使产量最大或效益最佳. 如果使捕捞量等于自然增长量,渔场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定. 背景 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性(自治)方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解,若从x0 某邻域的任一初值出发,都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法――直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y

0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E)

0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) >

0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1)由于相互不信任,一方军备越大,另一方军备增加越快;

2)由于经济实力限制,一方军备越大,对自己军备增长的制约越大;

3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存在增加军备的潜力. 进一步假设 1)2)的作用为线性;

3)的作用为常数 目的 建模 军备竞赛的结局 微分方程的平衡点及其稳定性 x(t)~甲方军备数量, y(t)~乙方军备数量 ?, ? ~ 本方经济实力的制约;

k, l ~ 对方军备数量的刺激;

g, h ~ 本方军备竞赛的潜力. t ? ?时的x(t),y(t) 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发,都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定 ?1,2为负数或有负实部 p >

0 且q>0p

0 且q>0平衡点 P0不稳定(对2,1) p <

0 或q 1时,P3才有意义 模型 平衡点稳定性分析 平衡点 Pi 稳定条件: p >

0 且q>0种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 平 衡点 ?2>1, ?1>1, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 ?1