PPT《第七章 模糊与概率》

五、模糊集合间的包含关系――包含度定理 主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship): 如果A=(.3

0 .7)和B=(.4 .7 .9),那么A就是B的一个模糊子集,但B不是A的模糊子集.显然,这种模糊包含度是非模糊的,它是非黑即白的. 1.模糊子集的几何表示B的所有模糊子集构成集合――模糊幂集F(2B),它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形,其边宽等于各隶属度值mB(xi) .可以度量F(2B)的大小或体积V(B),为隶属度值的乘积: 2.包含度定理:在图7.7中,点A可以是长方形内的点,也可以不是.在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集.而上述二值定义下的子集性忽略了这一点.考虑到集合A属于F(2B)的不同程度,通过抽象隶属度函数来定义包含度:S(.,.)在[0,1]之间取值,其代表了多值的包含度的测量,是模糊理论中的基本的、标准的结构.如何度量S(.,.)?两种方法: (1).代数方法: 即失配法(fit-violation strategy),假定X包含有100个元素:X={x1,…,x100}.而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系,使得mA(x1)>mB(x1).直观上,我们认为A很大程度上是B的子集.可以估算,子集性为S(A,B)=0.99,并且,如果X包括1兆个元素,A几乎完全是B的子集了.可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大,失配的数目相对于模糊集A的大小越多,那么A就越不能算是B的子集,或者说,A就越象是B的超集.直观上有: 失配数的计算:?max(0,mA(x)-mB(x))归一化之后得到超集的最小度量: 包含度为: 这种包含度度量满足主导隶属度函数关系,当时,S(A,B)=1.如果S(A,B)=1,则分子被加数应都为0,因此主导隶属度函数关系都满足.反之,当且仅当B是空集时, S(A,B)=0.而空集本来就无法包含集合,无论是模糊集还是非模糊集.在这两种极端情况之间,包含度的程度为:0 < S ( A, B ) < 1考虑匹配矢量A = (.2

0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7).A几乎是B的子集,但不完全是,因为 所以, 类似可得:(2)几何方法:在图7.7中, 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头.直觉上,当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1,当A远离F(2B)时, S(A,B)应该减小.那么A与F(2B)之间的距离如何计算? 寻找B*(A位于F(2B)的外头):通过F(2B)边线的直线延伸,将超立方体In分割成2n个超长方形.他们分为混合的或是纯的主值隶属度.非子集A1, A2 , A3, 分别位于不同的象限.西北和东南象限是混合主导隶属度函数的长方形,而西南和东北象限则是"纯"的长方形.通过F(2B)与A1, A3的范数距离,分别找到与西北和东南象的点A1, A3距离最近的点B1*和B3*.而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身.由此可证得一般性勾股定理.且这种"正交"优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边. 基数M(A)为恒定值的点A的轨迹为一条平行于负斜率对角线的直线.以B为中心的l1范数区域呈钻石形.A1和A2到F(2B)等距,但A1比A2离B更近.而同时,M(A1)>M(A2).可见,包含度依赖于基数M(A).考虑归一化,进一步猜测: 可以定义超集:d(A,F(2B))=d(A,B*)为了保证其值在(0,1)之间变化,要进行归一化处理,该常数等于最大 的单位立方体距离,l1情况下值为n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n这种度量存在的问题(图7.9) 假定p=1,令 正交性表明:设 其充要条件是没有失配现象发生,恒有 .所以 设 其充要条件是有失配现象 发生,这时 , 综上: 这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质:因为如果有一个失配关系,那么 所以 ,其余的 ,所以 故.B*是具有双重优化特性的点,它既是离A最近的B 的子集,也是离B最近的A的子集A*: 包含度定理: 推导相对频率: 结论: fuzzy theory extends probability theory