PPT《物理用数学初步》

物理用数学初步 李晟, 张骏 上海交通大学物理系2014.

9 微积分 面临的问题 物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算?(比如:x=const*t, x=const*t^2, ...)学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算?(比如: v=const*t, v=const*t^2, ...)大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远?(比如: v=const, v=const*t, v=const*t^2, ...)在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速度变化了多少?(比如: a=const, a=const*t, ...) 微分/导数 面临的问题 物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算?(比如:x=const*t, x=const*t^2, ...)学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算?(比如: v=const*t, v=const*t^2, ...) 微分: 无穷小之比 速度:位移变量与时间之比加速度:速度变量与时间之比 微分 0/0 存在吗? 0/0在很多情况下是可算的 例 无穷小的等级 如Dx 为无穷小,则Dxn 为n阶无穷小如 Dy/Dx 为有限大小,则两则为同阶无穷小 例子 瞬时速度举例:标记: 微分的几何解释 微分/导数为曲线的斜率(切线与横轴夹角的正切) 二阶及高阶导数(附加内容) 二阶导数:导数的导数 积分 面临的问题 大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远?(比如: v=const, v=const*t, v=const*t^2, ...)在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速度变化了多少?(比如: a=const, a=const*t, ...) 积分: 无穷小之和 位移:速度与时间之积 积分 定积分 跑了多远? 无穷多的无穷小之和存在吗? 公元前5世纪,芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛 开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;

当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前 于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他1米…… 芝诺解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但决不可能追上它. 极限 如何算积分 不定积分 (附加内容) 不给定积分区间的积分称不定积分不定积分为被积函数的逆导数c称积分常数例:匀加速运动 由初始条件决定 谢谢!