PPT《线性代数综合练 习题（三）》

线性代数综合练 习题

(三)

一、填空题: ;

解:把行列式按第一列展开 第一个行列式按第三行展开,第二个行列式按第一行展开,

2、设A为四阶方阵,且R(A)=2,则;

解:因为A为四阶方阵,且秩为2,所以A的任何3阶子式为零,而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式,故 为零矩阵,所以 0.

3、设向量组 的秩为2,则t= 解: 对下面矩阵施行初等行变换 因为 的秩为2,所以A的秩也为2,故

4、已知n 阶可逆阵A的任意行和等于2,则 的一个特征值为 ;

解:因为A的任意行和为2,所以 即2为A的一个特征值, 为对应的特征向量, 所以5为 的一个特征值 .

5、设A,B均为n阶方阵,且则.解: 所以答案为

二、选择题 1. 设 线性相关 线性无关, 则正确的结论是 线性无关 线性表示 答: 正确的结论为C. 线性相关 线性表示

2、设 为正定二次型,则t的取值范围 解:因为f为正定二次型,所以二次型矩阵A为正定矩阵,故A的行列式大于零,即 解得 所以选(c).

3、设A为 矩阵,B 为 矩阵,则下面结论正确的是. 解:因为AB为m阶方阵,当时,有 所以选(b).

4、A为n阶方阵,则 必为 正交阵;

(b) 对称阵;

(c) 可逆阵;

(d) 正定阵. 解: 所以 为对称矩阵.

5、设n阶方阵A,B,C满足ABC=E,则下面结论正确的是 (a) ACB=E;

b) CBA=E;

(c) BAC=E;

d) BCA=E. 解:因为ABC=E,所以A可逆,且A的逆矩阵为BC,因此有 BCA=E,故选(d). 解:因为A为正交矩阵,所以有 即 故选(d).

6、已知A为正交矩阵,则为(a)

1 ;

(b) -1;

(c)

0 ;

(d) C1 或1. 1. 设三阶矩阵 其中 均为三维行向量.且求解: 三,计算下面各题:

2、验证 是 的一个基, 并将 用该基线性表示. 解: 因为 是三个三维向量,故只需证明它们线性无关即可,也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价,而 由它们线行表示,就是求方程组 的解 ,因此对矩阵 施行初等行变换 所以 线性无关, 即为 的一个基,且由线性表示为

3、四元非齐次线性方程组AX=b,且R(A)=2,已知 是它的三个解向量,求其通解. 其中 解: 由于非齐次线性方程AX=b,为四元,且R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量, 为AX=b的解, 为AX=b的一个特解, 为方程组AX=0的两个解,且是线性无关的,所以可以作为基础解系,因此非齐次线性方程组的通解为 (其中 为任意实数)

4、设二阶方阵A满足 求An. 解:由已知得

5、设向量组A: 求:秩 及一个 极大无关组(写出计算过程). 解:由 为列构成矩阵A,并对其施行初等行变换, 所以,秩为3, 为一个极大无关组.

四、设线性方程组 判断其相容性,若相容,求出其所有解. 解:对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换 可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的,其同解方程组为 取 为自由未知量,得方程组的所有解为 (其中 c 为任意实数).

五、设方阵 问:A是否可以对角化,若 可以,求出一个正交阵,使其化为对角阵. 解:因为A是一个实对称矩阵,所以必存在一个正交矩阵P,使即A能对角化;

解特征方程 得A的 特征值, 当时,解方程组 即 得基础解系的解向量为 它们已经正交,只需单位化取 当时,解方程组 即 得基础解系的解向量为 单位化得 以 为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵,易证 其中

六、设二次型 用正交变换法将其化为标准形,并写出所用的正交变换. 解:二次型矩阵为 解A的特征多项式 即 解得A的特征值为 当时,解方程组 得基础解系 单位化得 当时,解方程组 得基础解系 当时,解方程组 得基础解系 单位化得 由 为列作正交矩阵 易验证 所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形 所用的正交变换为 若进一步地令 用正交变换把其化为标准形,并确定k为何值时,B为正定阵,则由 得 所以 有 即有正交变换 X=PY 使当时,B为正定阵. 完