PDF《核心素养怎样考（一）》

2018年第57卷第3期 数学通报 核心素养怎样考

(一) 李尚志 (北京航空航天大学 100083) 大家都承认郎平是优秀的女排教练.

凭什么 理由承认?看郎平写的关于怎样当教练的论文 吗?即使看了也看不懂.也不用看.只凭一条就 够了:郎平带领中国女排力克群雄,勇夺冠军. 排球教练在制定计划的时候也许应该提出很多的 理论,做出很多的论证和分析,来说服别人支持她 的训练方案.但最终的说服和检验只有一条:带 领队员打赢比赛,夺得冠军. 数学也是这样.要论证某种教学方式的正确 性和有效性,也许应该根据核心素养的要求进行 论证.但最终检验学生核心素养的高低,不是让 学生写核心素养的论文,而是让学生做数学题. 会做数学题不一定说明核心素养高,但核心素养 必须通过解决数学问题来体现.那就要看做什么 样的数学题,是怎样做出来的. 要说明这个道理,也不能空口说白话.以下 是我在中国科学技术大学和北京航空航天大学的 自主招生和选拔优秀学生的考试中实际出过的一 些真题(见文后附:测试题1).下面我就具体解 释,为什么要出这些题?考察学生什么样的核心 素养.有人对此不屑一顾,心想:何必要什么核 心素养.我只要训练学生一套题型就能对付任何 考试.那就欢迎把你的题型拿出来对付我的 考试. 比如说,以下第1题你训练什么题型?

一、填空题 1.设(zl,Y1),(z2,Y2),(z3,Y3)是平面曲线 z2+y2―2z一4y上任意三点.则A―zly2一工2Yl +z2Y3--X3Y2的最大值为 . 题型是有的.但中学老师一般都不训练,因 此我才要考.我希望所有的考生都没有被训练 过,大家都在同一条起跑线上起跑,一律平等. 假如大家都没有训练过,都不会做.怎么起跑? 放弃与选择:这道题考的第一条素养是:遇 到不会做的题怎么办? 遇到不会做的题,最简单易行的办法是:跳 过去先做会做的题,会做的题目做完了,该拿到 的分数拿到了,再来想不会做的题,多想出一道 就多一份意外收获. 但是,有很多自以为聪明的考生不这么办. 他们认为天下没有自己不会做的题,遇到不会做 的题也不肯放弃.还有的老师认为: 要想让未 成年人在短时间内判断自己不会,并且大胆放 弃,这本身就是一件很困难的事情. 我无法理 解这种逻辑.如果一个未成年人不会做某个题, 强迫他一定要做出来,这才是很困难的事情.反 过来,暂时放弃不会做的题,先做会做的题,不 应该有任何困难.只要在做题,把题做出来了, 就不是放弃而是得到.在难题面前耗费过多的时 间,没有时间做会做的题目,该得的分丢掉了, 这才是更大的放弃. 我把难题放在前面,就是要考查哪些学生头 脑更清醒,更懂放弃,更会选择.这样的素养不 仅对考试有用,对一辈子的生活和工作都有用. 如果通过考试能让一部分糊涂人吃了亏有所醒 悟,也是一桩功德. 不过,我把难题放在前面的主要目的还不是 逼大家都放弃,而是要给敢于绕过障碍胜利前进 的考生额外的奖励,让他们有机会乘胜返回,扫 除障碍.虽然第1道题就不会做,第2道题也不 会做.哪怕前10道题都不会做.但只要坚持下去 不气馁,总会遇到会做的.比如,第11题解答题 应该有办法做.

二、解答题 11.已知:平面直角坐标系中两点A,B的坐 标分别为(6,,

b:).O是原点.将OB沿 顺时针方向旋转直角得到OB 7. (1)求OAB的面积. 万方数据

2 数学通报 2018年第57卷第3期 解法1 求OAB的面积SnA.并不难.用 的知识最少的方法是:从A,B分别向.7C轴作垂 线交上轴于C,D,将OAB面积写成 S0AB―SOBD+SDBAc―S0Ac 一百1 ODI DB I+可1(I DB I+J CA I)I DCI 一÷10cI ICAl 一百1 6.6:+专(6:+a2)(n.一6.)一丢n.n. 一÷(nlb2一盘2b1). 这个方法对图上画的A,B的位置是正确的. 但缺点是:假如A,B的相对位置有变化,a.,az, b.,b.相互之间的大小、正负关系有变化,还应根 据不同情况讨论其中各个数的正负. 解法2题目只要求OAB的面积.已知条 件却叙述了一句: 将OB沿顺时针方向旋转直角 得到OB 7. 看起来与OAB面积无关.如果你 觉得它真的与/kOAB面积无关,可以置之不理. 但如果你把它考虑在内,却能够给你一点启发. sm目一÷IOAl|OBl sin么AOB 一丢10Al JOBI sin(么AOB7+号) 一妻I OA oB

7 cos么AOB

7 一$o-X・菌. 正弦变余弦.面积变点乘 三角形面积公式s0^e一寺1 oA OB|・ sin,么AOB可以说是套路.却并不适合于利用A,B 的坐标来算面积.如果公式中不是sin么AOB而是cos ZAOB,则|OA OB cos么AOB一蕊・ 商是数量积,可以由蕊,西矽的坐标算出来.学 生受的套路训练大部分是用现成的套路算现成的 问题,不得越雷池一步.我这里却希望选拔出用 现成的套路解决不现成的问题,善于越雷池一步 的学生.要求学生自己创新自己越雷池,难度太 大了一些.我们给点提示,选拔出那些能够接受 提示之后越雷池一步的学生,总比那些坚决不越 雷池的学生强.这里的关键是将面积公式中的正 弦sin么AOB变成余弦.为此,只要将角么AoB 变成余角要一么B70A一./AOB 7+詈,正弦就变 成余弦了,面积l OA OB sin么AOB就变成数 量积lOA oB 7}cos么AOB7一蕊・商来计算 了,只需要将蕊一(口.,n:)与商一(6.,一6.)的 坐标代入,就得到利用顶点坐标计算三角形面积 的公式 S()AB一去蕊・商一÷(口.,n.)・(6:,一6,) 一百1(nlb2--a2b1). 公式就是套路.不过,训练专家很可能没训 练过这个公式,对这个公式推理过程中有一个环 节也很可能不熟悉:怎样由B(6.,b.)的坐标算 出顺时针旋转直角之后到达的点B 7的坐标(b., 一6,).本文建议两个方法.一个用现成套路,另 一个不用套路,自己凑答案. 现成的套路:将点B(b.,b.)的位置表示为 向量0可,再表示为复数b,+b:i.怎么实现旋转 90.?旋转180.可以乘一1,由(一1)(b.+b:i)一一6.一b.i知道点(b,,

b:)旋转180.到达(一b,,

--b:).将这个旋转动作分两阶段完成,每阶段旋 转90.,只须乘一1的平方根i或一i.乘i是逆时 针旋转90.,乘一i是顺时针旋转90..现在需要 将点B(b.,b.)顺时针方向旋转90.,将复数b.+ b:i乘一i得到(一i)(6.+b.i)一b.~6,i,就知道将 点B(b.,b.)旋转到B7(6.,一6,). 如果不喜欢用复数运算,也可以自己凑向量 石矿的坐标(z,y).既然OB 7由OB旋转直角得 到,就满足两个条件: f石亩・石谚一(6.,b.)・(z,y)一6,z+6.y=0 l I商I一以胃一}oBI一撕而 有人认为解方程求出z,y才是 通法 .凑出来的 都是左道旁门.由 0一blb2一b2bl一(bl,b2)・(62,一b1) 万方数据 2018年第57卷第3期 数学通报

3 一下子对所有的(b,,

6:)凑出(b.,一b.)上(b., bz)且b;

+(一b.)2―6;

+b;

,难道就不是通法? 条条道路通罗马!只要到的是罗马,不用管我从 哪条路来.只要石矿一(6.,一6.)垂直于葫而且 长度相等,就是由OB旋转直角得到的.唯一需 要区别的是顺时针还是逆时针.这很容易由B, B7所在象限判定.比如b:>

o,B在一二象限,顺时 针旋转直角就在一四象限,(6:,一61)都符合要求. 魑法3 解法1太原始,解法2太巧妙,都 不容易想到.有一种方法容易想到:直接求 OAB的底和高来算面积. 底边长lOAl是点A(a.,口:)到原点的距离 IOAI一~/a;

+n1. 底边OA上的高I BH I就是B(b.,b.)到直 线OA的距离,直线OA的方程为a:z一口.y一0. 利用点到直线的距离公式算出 IBHl一旦垒三型, ,/a;

+a} 三角形面积 s..=寺{OA BH I一........