PDF《电动力学》

电动力学

第二章:镜像法与 Green 函数法 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.

edu.cn April 18,

2019 1 /

33 镜像法: 问题: 倘若求解电场的区域内分布有一个或几个点电荷,如何求解静电 势满足的 Poisson 方程 ? 答案是 镜像法 . 镜像法适用的情形是: 电场区域内存在一个或者少数几个点电荷;

区域边界是导体. 镜像法的要点是: 用处于区域外的一个或者几个假想的点电荷 (称为镜像电荷) 替 代区域边界处的导体表面上的感应电荷分布,保证区域内的静 电势的边界条件.

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33 典型例题

(一): 例: 接地无限大平面导体板上方 空间中有一个点电荷 Q,求空间中 的电场. 解: 导体板上方空间中的电场可 以看做是由点电荷 Q 和镜像点电荷 Q′ 共同激发的. 如此,场点 P 处的静电势为: φ(P) =

1 4π?0 ( Q r + Q′ r′ ) 以Q到导体板上的投影点 O 作为坐标原点,建立直角坐标系, 则: ? R = x? i + y? j + z? k, ? a = a? k, ? b = ?b? k

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33 注意到: r = |? R?? a| = √ x2 + y2 + (z ? a)2, r′ = |? R?? b| = √ x2 + y2 + (z + b)2 场点 P 处的电势进一步表为: φ(P) =

1 4π?0 [ Q √ x2 + y2 + (z ? a)2 + Q′ √ x2 + y2 + (z + b)2 ] 由于导体板接地,其电势约定为零:φ(P) z=0 = 0, 所以: √ x2 + y2 + a2 √ x2 + y2 + b2 = ? Q Q′ 此式应对导体板上的任一点 (即任意的 x, y 坐标) 都成立. 因此有: b = a, Q′ = ?Q

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33 本题的结论是: φ(P) =

1 4π?0 [ Q √ x2 + y2 + (z ? a)2 ? Q √ x2 + y2 + (z + a)2 ]

1 导体板表面上的感应电荷面密度计算如下: σ′ = ??0 ?φ ?n S = ?

1 4π ? ?z [ Q √ x2 + y2 + (z ? a)2 ? Q √ x2 + y2 + (z + a)2 ] z=0 = ? aQ 2π(x2 + y2 + a2)3/2 感应电荷总量为: ? σ′ ds = ? aQ 2π +∞ ? x=?∞ +∞ ? y=?∞ dxdy (x2 + y2 + a2)3/2 = ?Q = Q′

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33 典型例题

(二): 例: 真空中有一个半径为 R 的接地 导体球. 距球心为 a (a >

R) 处有一点 电荷 Q. 求球外空间中的电势分布. 解: 假设可以用球内一个镜像电荷 Q′ 来 替代球面上感应电荷对于空间电场的 作用. 由对称性,Q′ 应放置在 OQ 连线上,Q′ 到球心的距离为 b (b <

R). 取OQ 连线为 Z 轴,其单位基矢为 ? k. 球外空间任一点 P 处的静电势为: φ(P) =

1 4π?0 [ Q |r? n ? a? k| + Q′ |r? n ? b? k| ]

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33 注意到球面上各点的电势为零,我们有:

0 = Q |R? n ? a? k| + Q′ |R? n ? b? k| = Q/R |? n ? (a/R)? k| + Q′/b |(R/b)? n ? ? k| = Q/R √

1 ? 2(a/R) cos θ + (a/R)2 + Q′/b √ (R/b)2 ? 2(R/b) cos θ +

1 式中 cos θ = ? n ・ ? k. 上式对所有可能的 θ 角成立,意味着: a R = R b , Q R + Q′ b =

0 解此代数方程组,即得镜像电荷的大小和位置: Q′ = ? R a Q , b = R2 a

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33 所以,接地导体球球外空间 (r ≥ R) 的静电势分布为: φ(P) =

1 4π?0 [ Q |r? n ? a? k| ? RQ/a |r? n ? (R2/a)? k| ] =

1 4π?0 [ Q √ r2 + a2 ? 2ra cos θ ? RQ/a √ r2 + (R2/a)2 ? 2r(R2/a) cos θ ] 导体球表面上的感应电荷面密度计算如下: σ′ = ??0 ?φ ?r r=R = Q 4π [ R ? (a2/R) (R2 + a2 ? 2Ra cos θ)3/2 ] 感应电荷总量为: ? σ′ ds = QR2

2 π ?

0 [ R ? (a2/R) (R2 + a2 ? 2Ra cos θ)3/2 ] sin θdθ = ? RQ a = Q′ .

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33 典型例题

(三): 例: 如上例,但导体球不接地而带电量 Q0. 求球外电势分布,并求点电荷 Q 所受的 静电力. 解: 静电平衡状态达到后, 导体球面为等势面;

导体球面所发出的电场强度总通量为 Q0/?0.