PDF《电动力学》

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33 分析:

1 在导体球内放置镜像电荷 Q′,其位置 和大小如前例,b = R2/a, Q′ = ?QR/a, 则导体球表面上电势处处为零;

2 进一步在导体球心放置一个假想的点电 荷(Q0 ? Q′), 则导体球所带总电荷为 Q0(正如期待), 同时导体球面仍为等势 面,其电势为 (Q0 ? Q′)/4π?0R. 所以,球外空间任一场点 P 处的静电势为: φ(P) =

1 4π?0 [ Q0 + (RQ/a) r + Q √ r2 + a2 ? 2ra cos θ ? RQ/a √ r2 + (R2/a)2 ? 2r(R2/a) cos θ ]

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33 现在求点电荷 Q 所受的电场力. 因为空间中的电场可以看做是由 点电荷 Q, 镜像电荷 Q′ 和位于导 体球心的点电荷 (Q0 ?Q′) 共同激 发,所以 Q 所受的电场力等于镜 像电荷 Q′ 和球心处的额外点电 荷(Q0 ? Q′) 对其施加的库仑力. Q 所受的电场力方向沿 Z-轴, 大小为: F =

1 4π?0 [ Q(Q0 ? Q′) a2 + QQ′ (a ? b)2 ] 只要 Q 距离球面足够近,它就可能受到导体球的吸引力.

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33 典型例题

(四): 例: 半径为 R 的无限长导体圆柱外部空间 中存在着一根与之平行的无限长带电直线, 其电荷线密度为 λ,到导体圆柱中心轴线的 距离为 a (a >

R). 计算导体圆柱外部空间的 电势分布. 解: 假设可以用处于导体圆柱内部的一根 无限长镜像线电荷 λ′ 替代圆柱面上的感应 电荷. 由对称性,λ′ 应位于 Oλ 连线,设其到 O 的距离为 b. 按电像法,导体圆柱外场点 P 处的电势为: φ(P) = ? λ 2π?0 ln h ? λ′ 2π?0 ln h′ = ? λ 2π?0 ln |r? n ? a? i| ? λ′ 2π?0 ln |r? n ? b? i|

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33 即: φ(P) = ?

1 4π?0 [ λ ln ( r2 + a2 ? 2ra cos θ ) + λ′ ln ( r2 + b2 ? 2rb cos θ )] 式中 θ = cos?1(? n ・? i). 静电平衡状态达到后,导体圆柱面是等势 面:φ(P) r=R = C. 不过,由于对数函数的出现,这个条件很难使用. 我们改用另一 静电平衡性质:导体外部空间的电力线与导体表面垂直,即: ?θφ(P) r=R = 0, 其显式为: aλ R2 + a2 ? 2Ra cos θ + bλ′ R2 + b2 ? 2Rb cos θ =

0 或者等价地, (λ/a)

1 + (R/a)2 ? 2(R/a) cos θ + (λ′b/R2)

1 + (b/R)2 ? 2(b/R) cos θ =

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33 此式对导体圆柱面上的所有地点 (即对所有可能的 θ 角) 都成 立. 所以, b = R2 /a, λ′ = ?λ. 导体圆柱外部空间的电势分布最终求得为: φ(r, θ) = ? λ 4π?0 ln [ r2 + a2 ? 2ra cos θ r2 + (R2/a)2 ? 2r(R2/a) cos θ ] 式中 R ≤ r <

+∞,

0 ≤ θ ≤ 2π.

1 显然,导体圆柱面本身是等势面,其电势的具体值为: φ(r, θ) r=R = ? λ 2π?0 ln(a/R)

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33 作业:

1 半径为 R 的导体球外充满了均匀绝缘介质 ?,导体球接地, 离球心为 a 处(a >

R) 置一点电荷 Q. 试使用分离变量法求空 间各点的静电势分布、并验证所得结果与镜像法结果相同.

2 空心导体球的内外半径分别为 R1 和R2(约定 R1 <

R2),其携 带的总电荷量为 Q. 现在球内离球心距离为 a( a <

R1) 的地 点放置一个点电荷 q. 请使用镜像法计算导体球壳内外空间 的静电势分布.

3 有一点电荷 Q 位于两个相互垂直的接地导体板所围成的直 角空间内,其到两个导体板的距离分别为 a 和b. 求此空间 的静电势分布.

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33 Green 函数法 Green 函数: 一个处于? x′ 点上的单位点电荷所激发的电势 G(? x,? x′) 称为静电场 的Green 函数. 静电场 Green 函数服从如下 Poisson 方程: ?2 G(? x,? x′ ) = ?

1 ?0 δ(3) (? x ?? x′ ) 单位点电荷的电荷体密度 表为 ρ(? x) = δ(3)(? x ?? x′). 考虑包含源点? x′ 在内的空间区域 V,其边界面记为 S. 若G(? x,? x′)|S = 0, 则称其为第一类边值问题的 Green 函数. 若?nG(? x,? x′)|S = ?1/?0S,则称其为第二类边值问题的 Green 函数.