PDF《Homework15 答案》

Homework15 答案

2018 年12 月31 日1两个粒子在谐振子势中.

(1)忽略相互作用.写出系统的基态与第一基发态波函数和能 量. (2)假设相互作用为aδ(x1 ? x2), 计算基态和第一基态发能量.以上分可分辨,全同玻色 和全同费米(自旋1/2)三种情况讨论. (微扰计算到一级) . 解:单粒子能级和波函数(空间部分)为ψn = Nne?

1 2 α2 x2 Hn(αx) En = (n +

1 2 )? hω α = mω ? h , n = 0, 1, 2, ・ ・ ・ (1) 粒子为可分辨粒子 基态波函数和能级为 Ψ0 = ψ0(1)ψ0(2) E0 = E0(1) + E0(2) = ? hω 第一激发态波函数和能级为 Ψ1 = ψ0(1)ψ1(2) E1 = E0(1) + E1(2) = 2? hω Ψ1 = ψ1(1)ψ0(2) E1 = E1(1) + E0(2) = 2? hω 粒子为玻色子 基态波函数和能级为 Ψ0 = ψ0(1)ψ0(2) E0 = E0(1) + E0(2) = ? hω

1 2 第一激发态波函数和能级为 Ψ1 =

1 √

2 (ψ0(1)ψ1(2) + ψ1(1)ψ0(2)) E1 = E0 + E1 = 2? hω 粒子为费米子 基态波函数和能级为 Ψ0 = ψ0(1)ψ0(2)χ00 E0 = E0(1) + E0(2) = ? hω 费米的第一激发态波函数较为复杂,但总是遵循波函数反对称的原则.这就涉及到对空间波 函数和自旋波函数的分类讨论.如果空间波函数是对称的,那么自旋波函数必然是反对称的;

如果自旋波函数是对称的,那么空间波函数必然是反对称的.因此第一激发态波函数和能级 为和能级为 Ψ1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 √

2 (ψ0(1)ψ1(2) + ψ1(1)ψ0(2))χ00

1 √

2 (ψ0(1)ψ1(2) ? ψ1(1)ψ0(2))χ11

1 √

2 (ψ0(1)ψ1(2) ? ψ1(1)ψ0(2))χ10

1 √

2 (ψ0(1)ψ1(2) ? ψ1(1)ψ0(2))χ1?1 E1 = E0 + E1 = 2? hω (2)因为三种情况下,基态均不简并所以基态能级的一级近似能量为 E (1)

1 = H = ∞ ?∞ dx1dx2ψ2 0(x1)ψ2 0(x2)aδ(x1 ? x2) = ∞ ?∞ dx1ψ4 0(x1) = aα √ 2π E1 = ? hω + aα √ 2π 对于第一激发态,如果粒子为可分辨粒子,第一激发态二度简并.因为H 矩阵元计算得到均 为aα

2 √ 2π , 解其久期方程得到劈裂能级 E1 = ? ? ? 2? hω + aα √ 2π 2? hω 如果粒子为玻色子,自旋波函数也不简并(我们只讨论自旋为0的情况),则第一激发态能级为 E1 = 2? hω + ∞ ?∞ dx1dx2

1 2 (ψ0(x1)ψ0(x2) + ψ1(x1)ψ0(x2))2 aδ(x1 ? x2) = 2? hω + aα √ 2π

3 如果粒子为费米子,能级4重简并.因为自旋波函数正交,H 的非对角元为0, 对角元即为一级 修正. 本征态不变,仍为4重简并,能级为 E1 = 2? hω + aα √ 2π

2 某个能级有?个简并态,N个无相互作用粒子占据(? >

N),分可分辨,全同玻色,全 同费米三种情况讨论有多少种占据方式. 解:如果粒子可分辨,每个粒子都有?种占据方式,故共有ωN 种占据方式. 如果粒子为玻色子,其占据方式方式等同于用? ? 1个隔板将N个粒子分开,隔开的粒子 分别占据一个态.其组合数C??1 N+??1 如果粒子为费米子,其占据方式方式等同于在?位置上选择N个占据,其组合数CN ?

3 二能级系统E2 ? E1 = ? hω >

0. t <

0时处于基态.t >

0后受到扰动H . H 在H0表象下 矩阵元为H11 = H22 = 0, H12 = H21 = ? hν. 求解|Ψ(t) , 计算系统处于激发态的几率.并与微 扰论的结果比较. 解:t >

0时,在H0表象下体系哈密顿量表示为 H = H0 + H = E1 ? hν ? hν E2 = (E1 +

1 2 ? hω)I2*2 + ? h

2 ?ω 2ν 2ν ω 令无微扰时系统的本征函数为φ1, φ2;

对应能级为E1, E2, 设H的本征函数为 ψ = c1φ1 + c2φ2 = c1 c2 代入本征方程 Hψ = Eψ 令ω = √ ω2 + 4ν2, cos θ = ?ω ω , sinθ = 2ν ω 解其久期方程得 E+ = E1 +