PDF《Homework15 答案》

1 i? h t

0 e 0zn1δ(τ)ei(En?E1)τ/? h dτ (6) 这里zn1 = ψ+ n zψ1, n表示一组好量子数(n, l, m). 再对t积分,由t = 0? → t >

0, 既得 Cn(t) = e

0 i? h zn1, (7)

7 因此t >

0时(即脉冲电场作用后)电子跃迁到ψn态概率为 Pn = |Cn(t)|2 = ( e ? h )2 |zn1|2 (8) 选择定则就是zn1不为零的条件.根据 cos θYlm = aYl+1,m + bYl?1,m (9) 我们知道选择定则(?l = ±1, ?m = 0), 终态量子数必须是 (nlm) = (n10) (10) 即电子只能跃迁到np态(l = 1), 而且磁量子数m = 0. 7. 考虑一个二维无限深势阱中的粒子. 势阱的宽度和长度随时间缓慢变化:宽度 从a到2a,再把长度从a变到2a,然后把宽度缩小到a,最后把长度变回a.粒子初态在基态. 请问这个绝热过程完成后粒子获得berry phase是多少?你有什么结论? 解:势阱的宽度和长度随时间缓慢变化可以看作是绝热变化,粒子所处的态不发生跃迁. 粒子初态为基态,则t时刻处在H(t)的基态上.设势阱宽度和长度为缓变外参量Rx, Ry. 缓变 外参量随时间变化为(a, a) → (2a, a) → (2a, 2a) → (a, 2a) → (a, a). 对应绝热波函数和能量为 ψ(R) = φx(Rx)φy(Ry) (11) φi = ? ? ?

2 Ri sinπx Ri

0 ≤ x ≤ Ri

0 otherwise i = x, y (12) E(R) = π2 ? h2 2mR2 x + π2 ? h2 2mR2 y (13) Berry Phase的环路积分和曲面积分公式分别为 γ = i ψ(R)|?Rψ(R) ・ dR (14) γ = i S ?R * ψ(R)|?Rψ(R) ・ dS (15) 求Berry Phase可以用以上两个公式中的任何一个.此题利用环路积分求解是非常方便的.将 波函数带入式14中,得到 γ = i 2a a ψ(Rx, a)|?Rx ψ(Rx, a) dRx + i 2a a ψ(2a, Ry)|?Ry ψ(2a, Ry) dRy + i a 2a ψ(Rx, 2a)|?Ry ψ(Rx, 2a) dRx + i a 2a ψ(a, Ry)|?Ry ψ(a, Ry) dRy

8 因为φ(Rx), φ(Ry)对称,所以第一项和第四项,第二项和第三项相互抵消,故解得 γ =

0 实际上,直观上我们可以发现,波函数x, y方向相互独立.波函数可以分解成一维问题 来求解,因而得到Berry Phase 为0.从曲面积分公式来看,如果x,y方向上的波函数相互独立, ψ(R)|?Rψ(R) 必然是无旋的,必有?R * ψ(R)|?Rψ(R) = 0. ........