PDF《《几何小吃 》的简约美》

《 几何小吃》 的简约美 蒋迅英国哈德斯菲尔德大学的一位数学教师培训 师爱德华 ・ 索撒尔( E d w a r d S o u t h a l l ) 和一位法 国中 学数学教师文森特・潘塔罗尼(VincentPantaloni)最近合作出了一本书《 几何小吃》 ( G e - o m e t r y S n a c k ) .

作者把数学问题制作成一看就懂、 并让读者立即产生跃跃一试的智力题. 这些题 目里没有复杂的概念, 甚至都不需要多少描述. 但 是当你真正开始动手去做的时候, 你又发现其实 它并不那么简单. 而当你真的得到了最后的结果 时, 你会有一种成就感. 这样的数学问题具有的是 简约之美. 在我看来, 简约之美是大多数人喜欢数 学的原动力. 我没有读过这本书. 但我在t w i t t e r上一直是 索撒尔的粉丝. 除了培训以外, 他还是 一位具有14年教龄的中学数学老师并有自己的数学网站. 从这本书的介绍来看, 他书中的几类几何题都在 t w i t t e r上发布过. 现用他公布的一些例子来体验 一下他的教书理念. 例1 如图. 求阴影部分的面积. 这道题的描述不多, 但看到图片后一目了然. 现在你有一个正方形和一个几乎嵌入到里面的等 边三角形. 当然这个三角形不可能嵌入到正方形 里面. 于是问题出来了: 有多少面积露在了外面. 这道题公布以后, t w i t t e r的网友们各显神 通. 有人用desmos给 出 了答案;

还有人用J a v a s - c r i p t写了一段程序, 用计算概率的方法给出了一 个近似值. 更多的人则是老老实实地用手计算. 这道题用到的都 是平面几何里的最基本性质. 答案是: ( 73-1

2 ) / 2, 读者可以自行验证. 例2 如图. 给两 个单 位圆, 求正三角形的面积. 作者仍然省去了 精确 的题目表述. 这 就像是在咖啡店里要 一份甜甜圈一样, 你不会说要一个圆环形的外径 为多少厘米的甜甜圈. 从图我们知道两个圆相切,

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1 8年第5 7卷第9期 并上下叠落在三角形的( 垂直) 中线上. 上面的一 个单位圆则与正三角形在两个点上相切. 试想一 下, 真地把这些条件都叙述出来的话, 题目就显得 过于累赘. 解这道题的第一步是在两圆切点处做切线, 于是得到上面与一个单位圆相切的正三角形. 容 易知道, 这个正三角形的高是3, 从而大的正三角 形的 高为5. 最后的面积为5

2 3.也有人求助于desmos,用解析几何的方法来完成. 例3 如图. 阴影的面 积是多少? 我们把这个题的完整 描述 和解答留给读者. 注 意这 个题目(以及许多题目) 都可以推广. 比如, 我 们可以有下面的一些变形. 看完这些推广之后, 请读者自己回想一下, 刚 才在读前两个例子的时候, 你有没有想到推广一 下呢?如果没有的话, 那么现在再回过头去想一 下, 你会如何推广? 例4 求角度( 假定正则性) . 所谓正则性, 是指我们有三个正五边形和一 个正方形. 索撒尔喜欢在正则图形上做文章. 他有 时候干脆说, 你看着是正方形的话, 它就是正方形;

你看着是直角, 那它就是直角. 下图的解法虽 然不严格, 但挺奇妙的. 正五边形的每个顶点是1

0 8 ° . 所求之角是它 的一半, 即5

4 ° . 欧美国家的数学竞赛中, 几何题目 常常是这种计算角度、 长度、 面积等问题. 如果你 有捷径可走, 未尝不可呢?当然竞赛过后, 还是应 该把完整的解答补上. 例5 一个直角三角形和三个等边三角形. 求两角之和. 粉丝们这次用了 G e o G e b r a . 他们发现, 其实 这个直角的条件是多余的. 答案是1