PDF《数学观下的数学思想方法》

半:问题的解 例1哥尼斯堡七桥问题. 18世纪普鲁士的哥尼斯堡,普雷格尔河 流经此镇,奈发夫岛位于河中,共有七桥横跨 河上,把全镇连起来.一个散步者怎样才能不 重复地走遍所有的七座桥而回到原点出发, 这就是哥尼斯堡七桥问题,见图2. .岸(D) 一:.~j'

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薯~一.o::::::=≥j::j:j? 一一一二℃ 一――~,一一 片(B1 图2 这个看似简单的问题,很长一段时间没 有得到解决,大数学家欧拉(I.eonhard Eul― er,1707―1783),从众多人的失败中想到,这 样的走法就根本不可能存在.随后他用数学 的方法证实了自己的猜想,并于1738年发表 论文《哥尼斯堡七桥》.他的证明思路如下: 第1步,用A,c表示两个岛,B,D表示 两个岸,1,2,3,4,5,6,7分别表示七座桥. 第2步,将两岸和两个岛看成点,七座桥 看成七条线. 经过上述数学抽象,哥尼斯堡七桥问题 就转化成图3的 一笔画问题 . 幽3 欧拉进一步分析一笔画图形,发现若起 点和终点重合,则过此点的曲线必须是偶数, 图3中过A,B,C,D四点的曲线都是奇数 条,所以不能一笔画成.从而断定哥尼斯堡七 桥问题没有解. 欧拉的这一证明思路非常重要,也很巧 妙,它表明了数学家处理实际问题的独特之 处――把一个实际问题抽象成合适的数学模 型,这种研究方法就是数学模型方法. 又如万有引力数学模型的建立.由地球 中心说的宇宙模型到以太阳为中心的宇宙模 型.随着天体力学的发展,以开普勒为代表的 天体学家对前人积累的大量资料和有关数 据,运用数学工具进行了严格的推导,终于在 1609年归纳总结出了开普勒三定律. 开普勒三定律奠定了当今太阳中心说的 宇宙模型的理论基础.牛顿对开普勒三定律 产生了浓厚的兴趣,他认为万物皆受力的支 配.因此,开普勒三定律也不例外,必有某个 力学规律在起作用.最后,他终于以微积分为 工具,在开普勒三定律和牛顿力学第二定律 万方数据 第35卷第3期2016年3月 数学教学研究

9 的基础上,用演绎的方法,建立了著名的万有 引力定律,即F―G翌竽.万有引力定律,不上、 仅成功地用定量的方法揭示了客观事物之间 的一种内在的联系,而且是用数学方法解决 实际问题的又一个光辉典范. 2.1.2关系映射反演方法 2.1.2.1关系映射反演法及流程图 给定一个含有目标原象z的关系结构 S,如果能找到一个可定映射p,将S映人或 映满S.,则可从S*通过一定的数学方法把目 标映象z.一妒(z)确定出来,进而通过反演 9_1又可以把z一垆-1(z.)确定出来,这样,原 来的问题就得到了解决.这种方法就叫做关 系映射反演方法.为了方便起见,把关系 (Relation)映射(Mapping)反演(Inversion) 方法简称RMl方法,见图4. s(关系结构) 工(目标原象) 映射妒 反演妒 图4 5.(映象关系结构) 工4(目标映象) 2.1.2.2关系映射反演方法的实质 关系映射反演方法的实质就是一种把要 解决的问题转化成比较简单的或已解决了的 问题,通过后者的解来解决原问题的方法,这 是数学的一种基本的具有方法论意义的方 法. 2.1.2.3关系映射反演方法在实际中的应 用 欧几里得(公元前330一公元前275)《几 何原本》中把对图形的若干证明转化为 作图 问题来解,从而解决了由于公理不足所产 生的证明困难.我国古代数学家刘徽在《九章 算术注》和《海岛算经》中一再把各种数学问 题如:求面积及体积、证明公式、测量原理等, 都归结为图形的拼补来解决,取得重要的数 学成果. 近代大数学家笛卡尔(1596--1650)在其 《方法论》一书中给出了一个 万能方法 : ①把任何问题转化为数学问题;