PDF《一、填空题：本题共 6 小题,每小题 4 分,共24 分,请将答案》

2004

1 2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题:本题共

6 小题,每小题

4 分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 曲线 ln y x ? 上与直线

1 ? ? y x 垂直的切线方程为 . (2) 已知 x x xe e f ? ? ? ) ( ,且(1)

0 f ? , 则()fx?.(3) 设L为正向圆周

2 2

2 ? ? y x 在第一象限中的部分,则曲线积分 ? ? L ydx xdy

2 的值 为.(4) 欧拉方程 )

0 (

0 2

4 2

2 2 ? ? ? ? x y dx dy x dx y d x 的通解为 . (5) 设矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

0 0

2 1

0 1

2 A , 矩阵 B 满足 E BA ABA ? ? * *

2 , 其中 * A 为A的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则?B(6) 设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,则}{DX X P ? = .

二、选择题:本题共

8 小题,每小题

4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把??0x时的无穷小量 dt t dt t dt t x x x ? ? ? ? ? ?

0 3

0 0

2 sin , tan , cos

2 ? ? ? ,排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是( ) (A) ? ? ? , , . (B) ? ? ? , , . (C) ? ? ? , , . (D) ? ? ? , , . (8) 设函数 ( ) f x 连续,且,0)0(??f则存在

0 ? ? ,使得 ( ) (A) ( ) f x 在(0, ) ? 内单调增加. (B) ( ) f x 在)0,(??内单调减少. (C)对任意的 ) ,

0 ( ? ? x ,有()(0) f x f ? . (D)对任意的 )

0 , ( ? ? ? x ,有()(0) f x f ? . (9) 设???1 n n a 为正项级数,下列结论中正确的是 ( ) (A) 若nnna ? ? lim =0,则级数 ? ? ?1 n n a 收敛.

2004 2 (B) 若存在非零常数 ? ,使得 ? ? ? ? n n na lim ,则级数 ? ? ?1 n n a 发散. (C) 若级数 ? ? ?1 n n a 收敛,则0lim

2 ? ? ? n n a n . (D) 若级数 ? ? ?1 n n a 发散, 则存在非零常数 ? ,使得 ? ? ? ? n n na lim . (10) 设()fx为连续函数, ? ? ? t t y dx x f dy t F

1 ) ( ) ( ,则)2(F? 等于 ( ) (A)

2 (2) f . (B) (2) f . (C) (2) f ? . (D) 0. (11) 设A是3阶方阵, 将A的第

1 列与第

2 列交换得 B ,再把 B 的第

2 列加到第

3 列得C , 则 满足 AQ C ? 的可逆矩阵Q 为()(A) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

1 0

0 1

0 1

0 (B) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

0 1

0 1

0 1

0 . (C) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1

0 0

0 1

0 1

0 . (D) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0

0 0

0 1

1 1

0 . (12) 设,AB为满足

0 AB ? 的任意两个非零矩阵,则必有 ( ) (A) A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. (13) 设随机变量X服从正态分布(0,1) N ) , 对给定的)10(????,数?u满足????}{uXP,若 ? ? ? } { x X P ,则x等于( ) (A)

2 ? u . (B)

2 1 ? ? u . (C)

2 1 ? ? u . (D) ? ?

1 u . (14) 设随机变量 )

1 ( , , ,

2 1 ? n X X X n ? 独立同分布,且其方差为 .

0 2 ? ? 令???niiXnY11,则( ) (A) Cov( . ) ,

2 1 n Y X ? ? (B)

2 1 ) , ( ? ? Y X Cov .

2004 3 (C)

2 1

2 ) ( ? n n Y X D ? ? ? . (D)

2 1

1 ) ( ? n n Y X D ? ? ? .

三、解答题:15-23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分

12 分) 设2ebae???,证明 ) (

4 ln ln

2 2

2 a b e a b ? ? ? . (16)(本题满分

11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以 增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为