PDF《一、填空题：本题共 6 小题,每小题 4 分,共24 分,请将答案》

9000 kg 的飞机, 着陆时的水平速度为

700 km h . 经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 ).

10 0 .

6 6 ? ? k 问从着陆点算起,飞机 滑行的最长距离是多少?(注kg 表示千克, kg h 表示千米/小时.) (17)(本题满分

12 分) 计算曲面积分 , )

1 (

3 2

2 2

3 3 dxdy z dzdx y dydz x I ?? ? ? ? ? ? 其中 ? 是曲面 )

0 (

1 2

2 ? ? ? ? z y x z 的上侧. (18)(本题满分

11 分) 设有方程

0 1 ? ? ? nx xn ,其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 n x ,并证明当

1 ? ? 时,级数 ? ? ?1 n n x? 收敛. (19)(本题满分

12 分) 设(,)zzxy?是由

0 18

2 10

6 2

2 2 ? ? ? ? ? ? z yz y xy x 确定的函数,求),(yxzz?的极值点和极值. (20)(本题满分

9 分) 设有齐次线性方程组

2004 4 )

2 ( ,

0 ) ( ,

0 2 )

2 (

2 ,

0 )

1 (

2 1

2 1

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n x a n nx nx x x a x x x x a n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分

9 分) 设矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5 1

3 4

1 3

2 1 a A 的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论 A 是否可相似 对角化. (22)(本题满分

9 分) 设A,B为随机事件,且111

4 3

2 P A P B A P A B ? ? ? ,令;

,,

0,1不发生 发生 A A X ? ? ? ? . , ,

0 ,

1 不发生 发生 B B Y ? ? ? ? 求:(I)二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布;

(II) X 和Y 的相关系数 . XY ? (23)(本题满分

9 分) 设总体 X 的分布函数为

1 1,

1 , ( ;

) 1, 0, x F x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中未知参数 n X X X , , , ,

1 2

1 ? ? ? 为来自总体 X 的简单随机样本, 求:(I) ? 的矩估计量;

(II) ? 的最大似然估计量.

2004 5

2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题 (1)【答案】

1 ? ? x y 【详解】方法 1:因为直线

1 ? ? y x 的斜率

1 1 k ? ? ,所以与其垂直的直线的斜率

2 k 满足

1 2

1 k k ? ? ,所以

2 1 k ? ? ? ,即21k?,曲线ln y x ? 上与直线1??yx垂直的切线方程的斜率为1,即11)(ln ? ? ? ? ? x x y ,得1x?,把

1 x ? 代入 ln y x ? ,得切点坐标为 )

0 ,

1 ( ,根据点斜 式公式得所求切线方程为: )

1 (

1 0 ? ? ? ? x y ,即1??xy方法 2: 本题也可先设切点为 ) ln , (

0 0 x x , 曲线 ln y x ? 过此切点的导数为

1 1

0 0 ? ? ? ? x y x x , 得10?x,所以切点为 ? ?

0 0 ( ,ln ) 1,0 x x ? , 由此可知所求切线方程为 )

1 (

1 0 ? ? ? ? x y , 即1??xy.(2)【答案】

2 ) (ln

2 1 x 【详解】 先求出 ) (x f ? 的表达式,再积分即可. 方法 1:令tex ? ,则txln ? ,

1 x e t ? ? ,于是有 t t t f ln ) ( ? ? ,即.ln ) ( x x x f ? ? 两边积分得

2 ln

1 ( ) ln ln (ln )

2 x f x dx xd x x C x ? ? ? ? ? ? . 利用初始条件 (1)

0 f ? , 代入上式:

2 1 (1) (ln1)

0 2 f C C ? ? ? ? ,即0C?,故所 求函数为 ( ) f x =

2 ) (ln

2 1 x . 方法 2:由ln x x e ? ,所以 x x xe e f ? ? ? ) ( ln ln x x x x e e e e ? ? ? ? ,所以 . ln ) ( x x x f ? ? 下同. (3)【答案】 ?

2 3 【详解】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分.

2004 6 L 为正向圆周

2 2

2 ? ? y x 在第一象限中的部分,用参数式可表示为 .

2 0 : , sin

2 , cos

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x 于是

2 L xdy ydx ? ? ?

2 0

2 cos

2 sin

2 2 sin

2 cos d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?