PDF《一、填空题：本题共 6 小题,每小题 4 分,共24 分,请将答案》

2 0 [

2 cos

2 cos

2 2 sin

2 sin ]d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 2

2 2

2 0

0 [2cos 4sin ] [2 cos sin 2sin ] d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 2

2 0

0 0 [2 2sin ]

2 2sin d d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

0 0

2 1 cos2 d ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 0

0 0

1 3

1 cos2

2 sin

2 2

2 2 d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 1

3 3 sin sin

0 0

2 2

2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)【答案】

2 2

1 x c x c y ? ? 【详解】 欧拉方程的求解有固定方法, 作变量代换 t e x ? 化为常系数线性齐次微分方程即可. 令tex?,有

1 ln , dt t x dx x ? ? ? ,则1dy dy dt dy dx dt dx x dt ? ? ? ,

2 2

1 d y d dy dx dx x dt ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 1

1 dy d dy d uv vdu udv x dt x dx dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 1

1 dy d dy dt x dt x dt dt dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 2

2 2

2 1

1 1 dy d y d y dy x dt x dt x dt dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入原方程:

2 2

2 2

1 1

4 2

0 d y dy dy x x y x dt dt x dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,整理得

0 2

3 2

2 ? ? ? y dt dy dt y d , 此式为二阶齐次线性微分方程,对应的特征方程为

2 3

2 0 r r ? ? ? ,所以特征根为:

1 2 1,

2 r r ? ? ? ? ? ? ,

1 2 r r ?? ,所以

0 2

3 2

2 ? ? ? y dt dy dt y d 的通解为

1 2

2 1

2 1

2 r t r t t t y c e c e c e c e ? ? ? ? ? ?

2004 7 又因为 t e x ? ,所以

2 2

1 1 , t t e e x x ? ? ? ? ? ,代入上式得

2 1

2 1

2 2 . t t c c y c e c e x x ? ? ? ? ? ? (5)【答案】

9 1 【详解】 方法 1:已知等式两边同时右乘 A ,得**2ABA A BA A A ? ? , 由伴随矩阵的运算规律: * * A A AA A E ? ? ,有2AB A B A A ? ? ,而210120001A?3321(1)

1 2 ? ? ?

2 2

1 1 ? ? ? ?

3 ? , 于是有 A B AB ? ?

6 3 ,移项、合并有 A B E A ? ? )

6 3 ( ,再两边取行列式,由方阵 乘积的行列式的性质:矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积,有(3

6 )

3 6

3 A E B A E B A ? ? ? ? ? , 而36AE?21010031206010001001??????????????????????630600030360060300003006003????????????????????????3303(1) ( 3) ( 3)

3 3

3 0 ? ? ? ? ? ? ? ?

27 ? , 故所求行列式为 B

3 3

6 27 A A E ? ? ?

1 9 ? 方法 2:由题设条件 * *

2 ABA BA E ? ? ,得**2ABA BA ? ? * (

2 ) A E BA E ? ? 由方阵乘积行的列式的性质: 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积,故两边取行 列式,有**(2)21AEBA A E B A E ? ? ? ? ? 其中

2 1

0 1

2 0

0 0

1 A ?

3 3

2 1 ( 1)

1 2 ? ? ?

2 2

1 1 ? ? ? ?

3 ? ;

由伴随矩阵行列式的公式:若A是n阶矩阵,则1nAA???.2004

8 所以,

3 1

2 A A A ? ? ? ? =9 ;

又0102100001AE??1210(1)

0 1 ? ? ? =1. 故1192BAEA? ? ? ? . (6)【答案】 e

1 【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为 ,

0 ( )

0 0 x e x f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若若,其方差

2 1 ? ? DX . 于是,由一维概率计算公式, ? ? ( ) b X a P a X b f x dx ? ? ? ? ,有}{DX X P ? = dx e X P x ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

1 }

1 { =

1 ........