PDF《高等统计物理》

15 7.4. 二级相变 7.4.1. 热力学函数的临界指数 热力学量在临界点可以分为正常和奇异两部分.定义约化温度 (7.62) 则实验表明有四个热力学函数在临界点附近存在临界指数关系: (1)序参量: (7.63) (2)单位热容: (7.64) (3)响应函数: (7.65) (4) 点处的状态方程: (7.66) 其中 是对应于序参量 的广义外场. 比如,在外磁场 作用下的铁磁系统的四个热力学函数在临界点附近的临界指数为: (1)序参量 (7.67) (2)单位热容 (7.68) (3)磁化率

16 (7.69) (4) 点的状态方程 (7.70) 其中序参量 是单位体积的磁化强度, 是外加磁场. 再比如,气液系统的四个热力学函数在临界点附近的临界指数为: (1)序参量 (7.71) (2)单位热容 (7.72) (3)等温压缩率 (7.73) (4)临界点的状态方程 (7.74) 7.4.2. 关联函数 两个热力学量 和 的关联函数定义为 (7.75) 归一化的相关系数为 (7.76) 时间互相关函数 (7.77) 时间自相关函数 (7.78)

17 铁磁系统的自旋涨落空间关联函数为 (7.79) 其中 是和两点的距离, 是 点的自旋. 空间关联函数还与两点的值相同的概率有关.以伊辛模型为例,自旋只能有两个取值 ,两点自旋相同的概率为 (7.80) 实验表明 (7.81) 式中 是衰减幂指数, 是关联长度,与温度有关.引入临界指数 和 ,有关系 (7.82) 其中 是空间维数, 称为关联函数临界指数. 当时,大部分区域都处于有序态,只有小范围的空间涨落区域,因此关联长度 有限;

当时,涨落区域的范围急剧增大,在点;

当 时,大部分区 域处于无序态,空间关联被大幅度的热涨落湮没,因此关联长度也有限. 点发散的原因 也可以理解为系统在临界点这一单一状态点必须由所有单元参与, 协同完成从一个相到另一 个相的转变,因此在热力学极限下这种协同运动导致空间关联的发散. 7.4.3. 标度律(Scaling Law) 四个描述热力学函数临界行为的临界指数 和两个描述关联的临界指数 和 之间存在的关系称为标度律:

18 (7.83) 因此六个临界指数中只有两个是独立的.以下是几类系统的临界指数的数值. 临界指数 二维伊辛模型 三维伊辛模型 三维海森堡模型 平均场

0 0.12 -0.14

0 1/8 0.31 0.3 1/2 7/4 1.25 1.4

1 15

5 ―

3 1 0.64 0.7 1/2 1/4 0.05 0.04

0 7.4.4. 标度理论 临界点附近的热力学函数和关联函数呈幂律形式的奇异行为以及临界指数所满足的标 度律都可以由标度理论获得.标度理论的基本假设是在临界点附近与长度有关的量的每一 维都正比于关联长度 .标度理论是一个形式理论,只给出理论框架,不能求出临界指数的 具体数值. (1) 考虑体系的亥姆霍兹自由能 . 定义约化自由能的奇异部........