PDF《2016 年⾼考数学压轴题的分析与解》

2016 年?考数学压轴题的分析与解 兰琦2017 年12 ?

25 ? ?录12016 年全国

1 卷(?卷) 理科数学

2 2

2016 年全国

1 卷(?卷) ?科数学

6 3

2016 年全国

2 卷 (甲卷) 理科数学

8 4

2016 年全国

2 卷 (甲卷) ?科数学

11 5

2016 年全国

3 卷 (丙卷) 理科数学

14 6

2016 年全国

3 卷 (丙卷) ?科数学

18 7

2016 年上海卷理科数学

20 8

2016 年上海卷?科数学

24 9

2016 年北京卷理科数学

27 10

2016 年北京卷?科数学

30 11

2016 年四川卷理科数学

33 12

2016 年四川卷?科数学

37 13

2016 年天津卷理科数学

40 14

2016 年天津卷?科数学

45 15

2016 年?东卷理科数学

48 16

2016 年?东卷?科数学

51 17

2016 年江苏卷数学

54 18

2016 年浙江卷理科数学

60 19

2016 年浙江卷?科数学

64 1

2016 年?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)

1 2016 年全国

1 卷(?卷) 理科数学 例题

1 理12.

已知函数 f(x) = sin(ωx + φ)(ω > 0, |φ| ? π

2 ) , x = ? π

4 为f(x) 的零点, x = π

4 为y=f(x) 图象的 对称轴,且f(x) 在?π18 , 5π

36 ? 单调,则ω的最?值为 ( ) A.

11 B.

9 C.

7 D.

5 解析 由题意知 ?

1 2 k +

1 4 ? T = π

4 ? ( ? π

4 ) , k ∈ Z, 解得 ω = 2π T = 2k + 1, k ∈ Z. (也可以由 ? ? ? ? ? ? π

4 ω + φ = mπ, π

4 ω + φ = nπ + π

2 , m, n ∈ Z 两式相减得到 ω . ) 又因为 f(x) 在?π18 , 5π

36 ? 单调,所以 T = 2π ω = 2π 2k +

1 ?

2 ? 5π

36 ? π

18 ? , k ∈ Z, 于是 k ?

11 2 ,从?到小进?试探: 当k=5时, f(x) 在?π18 , 5π

36 ? 不单调(因为 π

18 < π

4 ? T < 5π

36 ) ;

当k=4时, f(x) 在?π36 , 5π

36 ? 上单调,符合题意,所以 ω 的最?值为

9 . 例题

2 理16. 某?科技企业?产产品 A 和产品 B 需要甲、?两种新型材料.?产?件产品 A 需要甲材料 1.5kg ,? 材料 1kg ,?

5 个?时;

?产?件产品 B 需要甲材料 0.5kg ,?材料 0.3kg ,?

3 个?时.?产?件产品 A 的利润为

2100 元,?产?件产品 B 的利润为

900 元.该企业现有甲材料 150kg ,?材料 90kg ,则在不超过

600 个?时的条件下,?产产品 A 、产品 B 的利润之和的最?值为 元. 解析 设?产产品 A, B 的件数分别为 x, y 时,获得利润为 z 元.则x, y 满?的约束条件为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.5x + 0.5y ? 150, x + 0.3y ? 90, 5x + 3y ? 600, 其中 x, y ∈ N? ,目标函数 z = 2100x + 900y = 300(7x + 3y).

2 2016 年?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著) x y O

90 60

100 300

200 作出可?域,可以得到当 x = 60, y =

100 时, z 有最?值216000 . 例题

3 理20. 设圆 x2 + y2 + 2x ?

15 =

0 的圆?为A,直线 l 过点 B(1, 0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于C, D 两点,过B作AC 的平?线交 AD 于点 E . (1) 证明: |EA| + |EB| 为定值,并写出点 E 的轨迹?程;

(2) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交C1 于M, N 两点,过B且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点,求四边形 MPNQ ?积的取值范围. 分析 第(1) 小题利用?何知识证明 |EB| = |ED| 即可;

第(2) 小题是典型的面积问题,计算两个弦长 |MN| 和|PQ| 即可,其中对焦点弦长的计算用到了《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效

10 招中的第

3 招,与之类似的题有

2014 年天津卷理科第

19 题. 解析 (1) 将圆的?程化为标准?程(x + 1)2 + y2 = 16. A B C D E O x y 由于 BE ∥ AC , 于是 ∠EBD = ∠ACD . 又|AC| = |AD| , 于是 ∠ACD = ∠ADC , 因此 ∠EBD = ∠EDB , 从? |EB| = |ED| ,这样就得到了 |EA| + |EB| = |EA| + |ED| = |AD| 为定值