PDF《2016 年⾼考数学压轴题的分析与解》

4 .根据椭圆的定义,点E的轨迹?程为 x2

4 + y2

3 = 1(y ?= 0).

3 2016 年?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著) (2) 设∠MBA = θ ( θ ∈ (0, π) ),则在 MAB 中应用余弦定理,有|MA|2 = |MB|2 + |AB|2 ?

2 ・ |MB| ・ |AB| ・ cos θ, 结合 |MA| + |MB| =

4 可解得 |MB| =

3 2 ? cos θ . N Q P M A B O x y 类似的,可得 |NB| =

3 2 + cos θ , 从? |MN| = |MB| + |NB| =

12 4 ? cos2 θ . 此时直线 PQ 的?程为 x cos θ = y sin θ + cos θ, 于是圆的弦长 |PQ| =

2 ?

42 ? ?

2 cos θ √ cos2 θ + sin2 θ ?2 =

4 √

4 ? cos2 θ. 于是可得四边形 MPNQ 的面积 S =

1 2 ・ |MN| ・ |PQ| =

24 √

4 ? cos2 θ , 于是四边形 MPNQ 的面积的取值范围是 [12,

8 √ 3) . 例题

4 理21. 已知函数 f(x) = (x ? 2)ex + a(x ? 1)2 有两个零点. (1) 求a的取值范围;

(2) 设x1, x2 是f(x) 的两个零点,证明: x1 + x2 <

2 . 分析 第(1) 小题是典型的零点个数问题,可用分离变量法( 《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效

10 招中的第

1 招,与之类似的题有

2014 年新课标 II 卷?科第

21 题) ;

第(2) 小题是典型的偏移问题,对称 化构造即可.

4 2016 年?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著) 解析 (1) 显然 x =

1 不是函数 f(x) 的零点.当x?=

1 时,?程f(x) =

0 等价于 a =

2 ? x (x ? 1)2 ・ ex . 记右侧函数为 g(x) ,则g(x) 的导函数 g′ (x) = ?ex ・ x2 ? 4x +

5 (x ? 1)3 , 因此函数 g(x) 在(?∞, 1) 上单调递增,?在(1, +∞) 上单调递减. 由于函数 g(x) 在(?∞, 1) 上的取值范围是 (0, +∞) ,?在(1, +∞) 上的取值范围是 因此当 a >

0 时,函数 f(x) 有两个零点,所求取值范围是 (0, +∞)

1 . (2) 根据第 (1) 小题的结果,不妨设 x1 <

1 < x2 ,则只需证明 x2 <

2 ? x1 .考虑到函数 g(x) 在(1, +∞) 上单调递减,于是只需要证明 g(x2) > g(2 ? x1), 也即 g(x1) > g(2 ? x1). 接下来证明: ?x < 1, g(x) ? g(2 ? x) > 0, 也即 ?x < 1, ex ・ (2 ? x) ? e2?x ・ x > 0. 设h(x) = ex ・ (2 ? x) ? e2?x ・ x ,则其导函数 h′ (x) = (ex ? e2?x )(1 ? x), 1第(1) ?题中如果需要刻意避开极限,可以进?如下论证. 当a?0时,由于在 (?∞, 1) 上, g(x) >

0 ,因此在此区间上不存在 x 使得 g(x) = a, ?在(1, +∞) 上,函数 g(x) 单调递减,不可能存在两个零点;

当a>0时,取x1 = min ?

1 + √

1 a ,

3 2 ? ,则g(x1) >

1 (x1 ? 1)2 ? a, ? g(2) =

0 < a ,结合 g(x) 在(1, +∞) 上单调递减,可以断定在区间 (x1, 2) 上必然有?个零点;

另???,取x2 = max ?

1 ? √

2 a ,

0 ? ,则g(x2) ?

2 (x2 ? 1)2 ? a, ?取x3 = ? √

2 a ,则g(x3) <

2 ? x3 x2

3 <

2 x2

3 = a, 结合 g(x) 在(?∞, 1) 上单调递增,可以断定在区间 (x3, x2) 上必然有?个零点;

综上所述, a 的取值范围是 (0, +∞) .

5 2016 年?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著) 当x

0 ,因此原命题得证1 .

2 2016 年全国

1 卷(?卷) ?科数学 例题

5 ? 12. 若函数 f(x) = x ?

1 3 sin 2x + a sin x 在 上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A. [?1, 1] B. ? ?1,

1 3 ò C. ? ?

1 3 ,

1 3 ò D. ? ?1, ?

1 3 ò 解析 函数 f(x) 的导函数 f′ (x) =

1 ?

2 3 cos 2x + a cos x = ?

4 3 cos2 x + a cos x +

5 3 , 根据题意有 ?x ∈ R, f′ (x) ?

0 ,令t=cos x ,则上述命题即 ?t ∈ [?1, 1], 4t2 ? 3at ?

5 ? 0, 由于?次函数 g(t) = 4t2 ? 3at ?

5 的开?向上,因此只需要 ? ? ? ? ? g(?1) ? 0, g(1) ?

0 即可,解得 ?

1 3 ? a ?