PDF《阿蒂亚《交换代数引论》部分习题解答》

阿蒂亚《交换代数引论》部分习题解答 苏剑林, http://kexue.

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2017 年7?2?目录

1 环和理想

7 1.2 设A是环, ? A[x] 是系数属于 A 的?个未定元 x 的多项式环,令f=a0 + a1x anxn ∈ A[x],证明:7 1.2.1 f 是A[x] 中可逆元 ? a0 是A中可逆元,? a1,an 是幂零元;

7 1.2.2 f 幂零 ? a0, a1,an 幂零;

8 1.2.3 f 是零因? ? 存在着环 A 的?

0 元a使得 af = 0;

8 1.2.4 如果 (a0, a1,an) = (1),f 就叫本原多项式.证明,如果 f, g ∈ A[x],那么 fg 本原 ? f 和g皆本原.8 1.5 设A是环,A[[x]] 是系数在 A 中的形式幂级数 f = ∞ ∑ n=0 anxn 所组成的环, 证明:9 1.5.1 f 是A[[x]] 中可逆元 ? a0 是A中可逆元;

9 1.5.2 如果 f 幂零, 那么对?切n≥0,an 都幂,逆命题是否成??10 1.5.3 f 属于环 A[[x]] 的?根?a0 属于环 A 的?根;

10 1.5.4 环A[[x]] 中任?极?理想 m 对A的局限理想都是 A 中的极?理想,? m 由mc 和x?成;

10 1.5.5 A 中任?素理想都是 A[[x]] 中?个素理想的局限理想.11 1.7 设环 A 中任?元素 x 都适合 xn = x 对某个 n >

1(? n 依赖于 x) .证明 A 中任?素 理想都极?.11 1.10 设A是环,N 是它的?根,证明下列诸断?等价: i) A 恰好只有?个素理想;

ii) A 中任 ?元素或者是可逆元, 或者是幂零元;

iii) A/N 是域.11 1.10.1

11 1.10.2

11 1.10.3

11 1.14 ? Σ 表环 A 中完全由零因?组成的理想的全体所组成的集合,证明:11 1.14.1 Σ 有?个极?元;

11 1.14.2 Σ 的每个极?元都是素理想;

12 1.14.3 A 中零因?的集合是素理想的并.12

1 目录

2 2 模13 2.2 设A是?个环,a 是A的理想,M 是?个A-模,证明模 A/a ?A M 与M/aM 同构.

13 2.3 A 是个局部环,M 和N是有限?成的 A-模,证明,如果 M ? N = 0,那么 M =

0 或者N=0.13 2.6 对任意 A-模M,? M[x] 表x的系数属于 M 的多项式,即形状如 m0 + m1x mrxr (mi ∈ M) 的表达式的全体所成的集合. ?显然的?式来定义 A[x] 的元素与 M[x] 的元素的乘积,证明:14 2.6.1 M[x] 成为?个A[x]-模;

14 2.6.2 M[x] ? = A[x] ?A M.14 2.7 设p是A中的素理想. 证明 p[x] 是A[x] 中的素理想, 如果 m 是A中的极?理想, m[x] 是不是 A[x] 中的极?理想?14 2.8

8 14 2.8.1 如果 M 和N都是平坦 A-模,那么 M ?A N 也是平坦的;

14 2.8.2 如果 B 是平坦 A-代数,? N 是平坦 B-模,那么 N 也是平坦 A-模.15 2.9 设0→M′ → M → M′′ →

0 是A-模的正合序列.如果 M′ 和M′′ 都是有限?成的,那么M也是有限?成的.15 2.11 设A是?

0 环.证明:16 2.11.1 Am ? = An ? m = n;

16 2.11.2 如果 φ : Am → An 是满同态,那么 m ≥ n;

16 2.11.3 如果 φ : Am → An 是单同态,那么 m ≤ n 是否总是成??16 2.12 设M是有限?成的 A-模? φ : M → An 是个满同态,证明 Ker(φ) 是有限?成的. . .

16 3 分式环和分式模

18 3.1 设S是环 A 的乘法封闭?集,M 是有限?成A-模.证明:S?1 M =

0 当且仅当存在 s ∈ S 使得 sM = 0.18 3.2 设a是环 A 中的理想,S =

1 + a.18 3.2.1 证明 S?1 a 含于 S?1 A 的?根中;

18 3.2.2 利?这个结果和 Nakayama 引理给出 (2.5) 的?个不依赖于?列式的证明. . . .

18 3.4 设f:A→B是环同态,S 是A的?个乘法封闭?集.设T=f(S),求证,S?1 B 与T?1 B 作为 S?1 A-模同构.18 3.5 设A是环,又设对每个素理想 p,局部环 Ap 没有?零幂零元.19 3.5.1 证明 A 也没有?零幂零元;

19 3.5.2 如果每个 Ap 是整环,问A是否?定是整环?19 3.6 设A是?零环,Σ 是A的?切不含

0 的乘法封闭?集S的集合,证明:20 3.6.1 Σ 有极?元;