PDF《阿蒂亚《交换代数引论》部分习题解答》

20 3.6.2 S ∈ Σ 是极?的当且仅当 A\S 是A的极?素理想.20 3.14 M 是A-模,a 是A的理想.设对?切极?理想 m ? a,有Mm = 0,证明 M = aM.

20 3.15 设A是环,F 是A-模An

21 3.15.1 证明 F 的每个由 n 个元素构成的?成元集合是 F 的基;

21 3.15.2 推出 F 的每个?成元素集?少有 n 个元素.21 目录

3 4 准素分解

22 4.4 在多项式环 Z[t] 之中,理想 m = (2, t) 是极?的,理想 q = (4, t) 是m-准素的,但它不 是m的幂.22 4.4.1

22 4.4.2

22 4.4.3

22 4.7 设A是环,A[x] 表? A 上?个未定元的多项式环.对A的每个理想 a,设a[x] 表? A[x] 中系数在 a 中的?切多项式的集合.22 4.7.1 a[x] 是a到A[x] 中的扩张;

22 4.7.2 如果 p 是A的素理想,那么 p[x] 是A[x] 的素理想;

22 4.7.3 如果 q 是A的p-准素理想,那么 q[x] 是A[x] 中的 p[x]-准素理想;

23 4.7.4 如果 a = n ∩ i=1 qi 是A中的?个极?准素分解,那么 a[x] = n ∩ i=1 qi[x] 是A[x] 中的 ?个极?准素分解;

23 4.7.5 如果 p 是a的?个极?素理想,那么 p[x] 是a[x] 的?个极?素理想.24 4.12 设A是环,S 是A的乘法封闭?集.对任?理想 a,? S(a) 表? S?1 a 在A中的限 制,理想 S(a) 称作 a 关于 S 的饱和化.证明:24 4.12.1 S(a) ∩ S(b) = S(a ∩ b)24 4.12.2 S( √ a) = √ S(a)24 4.12.3 S(a) = (1) ? a与S有交;

25 4.12.4 S1(S2(a)) = (S1S2)(a)25 4.12.5 如果 a 有准素分解,证明理想 S(a) 的集合(这? S 跑遍 A 的?切乘法封闭? 集)是有限的.25 4.14 令a是环 A 中的?个可分解理想,设p是理想 (a : x) 的集合中的?个极?元,这? x ∈ A ? x ?∈ a.证明 p 是属于 a 的素理想.25 4.15 设a是环 A 中的?个可分解理想, 设Σ是属于 a 的素理想的?个孤?集, 设qΣ 是相应的 准素分?的交, 设f是A中的?个元素, 使对每个属于 a 的素理想 p, 有f∈p?p∈Σ, 又设 Sf 是f的?切幂的集合,证明对?切?的n,有qΣ = Sf (a) = (a : fn

25 4.15.1

26 4.15.2

26 4.15.3

26 5 整相关性和赋值

28 5.2 设A是环 B 的?环,B 在A上整,又设 f : A → Q 是A到代数闭域 Q 中的?个同 态.求证 f 可以扩充为 B 到Q之中的同态.28 5.4 设A是环 B 的?环,且B在A上整,设n是B中?个极?理想,m = n ∩ A 是A中相应的极?理想,问环 Bn 在Am 上是否?定整?28 5.7 设A是环 B 的?环,且集合 B\A 对乘法封闭,求证 A 在B中整闭.29 5.11 设f:A→B是环的平坦同态,那么 f 具有下降性质.29 5.16 设k是域,A ?=

0 是有限?成k代数.那么存在元素 y1,yr ∈ A,它们在 k 上代数 ?关,使得 A 在k[y1,yr] 上整.29 目录

4 5.16.1

29 5.16.2

30 5.16.3

30 5.23 设A是环,证明下述条件等价:i) A 中每个素理想都是极?理想的交;

ii) A 的每个同 态象的?根等于?根;

iii) A 的每个?极?的素理想等于真包含它的那些素理想的交. .

31 5.23.1

31 5.23.2

32 5.23.3

32 5.27 设A, B 是两个局部环,如果 A 是B的?环,?且A的极?理想 m 包含在 B 的极? 理想 n 之中(或者等价地说,如果 m = n ∩ A) ,我们就说 B 优于(dominate)A.设K是域,Σ 是K中全部局部?环构成的集合,按 优于 关系将 Σ 排序.证明在 Σ 中有 极?元,?且A∈Σ在Σ中是极?的,当且仅当 K 是域 K 的赋值环.33 5.27.1

33 5.27.2

33 5.27.3

34 5.28 设A是整环,K 是它的分式域.证明下列论断等价: (1) A 是域 K 的赋值环;

(2) 设a, b 是A中任意两个理想,那么或者 a ? b,或者 b ? a.由此得出,如果 A 是?个赋值 环,p 是A中?个素理想,那么环 Ap 与A/p 是它们的分式域的赋值环.34 5.28.1

34 5.28.2

34 5.28.3