PDF《第35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案 》

第35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案? ?

一、如图,半径为 R 、质量为 M 的半球静置于光滑水平桌面 上,在半球顶点上有一质量为 m 、半径为 r 的匀质小球.

某 时刻,小球受到微小的扰动后由静止开始沿半球表面运动. 在运动过程中, 小球相对于半球的位置由角位置? 描述,? 为 两球心的连线与竖直方向之间的夹角.已知小球绕其对称轴 的转动惯量为

2 2

5 mr , 小球与半球之间的动摩擦因数为 ? , 假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 重力加速度大小为 g . (1)小球开始运动后在一段时间内做纯滚动,求在此过程中,当小球的角位置为

1 ? 时,半球 运动的速度大小 ? ?

1 M V ? 和加速度大小 ? ?

1 M a ? ;

(2)当小球纯滚动到角位置

2 ? 时开始相对于半球滑动,求2?所满足的方程(可用半球速度大 小??2MV?和加速度大小 ? ?

2 M a ? 以及题给条件表示) ;

(3)当小球刚好运动到角位置

3 ? 时脱离半球,求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 ? ?

3 m ? v . 参考解答: (1)(解法一) 半球和小球组成的系统在水平方向上没有受到外力作用,系统在水平方向上动量守恒 [( ) cos ]

0 M M MV m R r V ? ? ? ? ? ? ? ? ① 设小球转动角速度大小为?,小球做纯滚动,故有 ( ) r R r ? ? ? ? ? ② 无耗散力做功,系统的机械能守恒 ? ? ? ? ? ?

2 2

2 2 ( )(1 cos )

1 1

1 cos sin

2 2

2 M M mg R r MV m R r V R r I ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 式中

2 2

5 I mr ? .联立①②③式得,小球运动到角位置

1 ? 时半球速度大小 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

1 1

2 1

10 1 cos cos

7 5 cos M m R r g V M m m M m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④ 或222112110 ( )(1 cos )cos [7 (5sin 2) ]( ) M m g R r V M m m M ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将上式两边对时间t 微商得 m r ?? R M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 3

2 2

10 2cos 3cos

7 5 cos

100 1 cos cos

2 7

5 cos sin M M mg M m m m g V a M m m m R r M m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由①式可知 ? ? cos M m R r V M m ? ? ? ? ? ? 由以上两式得,小球运动到角位置

1 ? 时,半球的加速度大小为 ? ? ? ? ? ?

3 1

1 1

1 2

2 1

5 sin

14 21 cos

5 cos ( )

7 5 cos M mg M m M m m a M m m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤ [(解法二) 见下面第 (2) 问解答, 列出动力学方程和运动学约束, 也可以解得半球的加速度大小

1 ( ) M a ? . ] (2) 当小球纯滚动到角位置?(

2 ? ? ? ) 时, 设小球对半球的正压力和摩擦力大小分别为 N 和f,由牛顿第二定律有 sin cos M N f Ma ? ? ? ? ⑥ 在半球参考系中,对小球利用质心运动定理得

2 C cos sin M mg N ma m R r ? ? ? ? ? ? v ⑦ C d sin cos d M mg ma f m t ? ? ? ? ? v ⑧ 式中 C v 为半球参考系中小球质心速度的大小 ? ? C cos M M m r R r V m ? ? ? ? ? ? ? ? ? v ⑨ ⑨式的最后等式已应用了①式.在小球质心参考系中对小球利用转动定理有 d d fr I t ? ? ⑩ 由⑥⑦⑧⑨⑩式得 ? ?

2 sin cos

7 M m f g a ? ? ? ? ?

2 C cos sin M N mg ma m R r ? ? ? ? ? ? v ? 按照纯滚动条件,要求 f N ? ? 当小球纯滚动到角位置

2 ? 时开始相对于半球滑动, 上式中等号成立. 将??式代入 f N ? ? 得??????2C22222222sin cos cos sin

7 M M m g a mg ma m R r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v 将⑨式代入上式得

2 ? 所满足的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?