PDF《第35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案 》

2 2

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2 sin cos cos sin

0 7

7 cos M M M m V g g a R r m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 式中 ? ?

2 M V ? 和??2Ma?如④⑤式(

1 2 ? ? ? )所示. (3)在小球刚好运动到角位置

3 ? 处脱离半球的瞬间,

0 N ? ? 此时半球的加速度为零.因此,在小球脱离半球的瞬间,小球质心相对于半球运动速度的大 小??3m?v满足

2 C

3 cos mg m R r ? ? ? ? v ? 由此得 C

3 ( ) cos R r g ? ? ? ? v ?

二、平行板电容器极板

1 和2的面积均为 S ,水平固定放置, 它们之间的距离为 d ,接入如图所示的电路中,电源的电动势 记为U .不带电的导体薄平板

3 的质量为 m 、尺寸与电容器极 板相同.平板

3 平放在极板

2 的正上方,且与极板

2 有良好的 电接触.整个系统置于真空室内,真空的介电常量为

0 ? .闭合 电键 K 后,平板

3 与极板

1 和2相继碰撞,上下往复运动.假设导体板之间的电场均可视为 匀强电场;

导线电阻和电源内阻足够小,充放电时间可忽略不计;

平板

3 与极板

1 或2碰撞 后立即在极短时间内达到静电平衡;

所有碰撞都是完全非弹性的.重力加速度大小为 g . (1)电源电动势U 至少为多大? (2)求平板3运动的周期(用U 和题给条件表示). 已知积分公式 ? ?

2 2 d

1 ln

2 2 x ax b a ax bx C a ax bx ? ? ? ? ? ? ? ,其中

0 a ? ,C 为积分常数. 参考解答: (1)在平板3离开极板2之前,平板3的带电量为

0 0 S Q C U U d ? ? = 设平板3离开极板2之后,各板电荷面密度如图a所示.由电荷守恒有

0 1

2 Q U S d ? ? ? ? ? ? ? ? ① 设上、下两电容器各自两极板间电场的场强分别为

1 E 、

2 E (见图a) , 有110E???,220E???将上式代入①式得

0 0

1 0

2 E E U d ? ? ? ? ? 即12UEEd??②另外,两个串联电容器的总电势差为U ,故??21ExEdxU???③联立②③式得 U

1 2

3 ? K

1 E

2 E x

1 2

3 1 ?

2 ? ?

2 ?

1 ? ? a 图1UdxEdd??④2UxEdd?⑤由④⑤式得,极板

1、2上电荷面密度分别为

1 0

1 E ? ? ? ,

2 0

2 E ? ? ? 平板3受到的电场力(向上为正方向,下同)为2202112e21120122001203()()22222()/2(2 )

2 2 S E E E E F S S E E S E E SU U U U x d S E E S x d d d d d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑥ 平板3受到的竖直方向的合力为

2 2

2 0

0 0 total e

3 2

3 (2 )

2 2 SU SU SU F F mg x d mg mg x d d d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由此得,平板3在图a所示位置的加速度为

2 2 total

0 0

2 3

2 F SU SU a g x m md md ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦ 为使平板

3 向上运动,应有条件

2 0

2 2 SU g md ? ? 且开始运动之后加速度始终为正, 因此最终将撞到极板

2 上. 上述条件意味着电源电动势U 至 少应为

2 min

0 2md g U S ? ? ⑧ (2)由⑦式可知

0 a a Bx ? ? 其中

0 1

2 a Bd g ? ? ,

2 0

3 SU B md ? ? 于是

0 d d a a Bx x ? ? ? v v 即0d()d a Bx x ? ? v v 对上式两边作积分

0 0

0 d ( )d x a Bx ? ? ? ? ? ? ? ? v v v x 完成积分得

2 2

0 1

1 2

2 a x Bx ? ? v 或202a x Bx ? ? v 其中 v 为平板3与极板2相距 x 时速度的大小.上式即

2 0 d d

2 x t a x Bx ? ? ⑨ 两边积分,可得平板

3 从极板

2 运动到极板 1(位移为 d )的时间间隔为

1 1

2 0

0 0 d d

2 t d x t t a x Bx ? ? ? ? ? 完成上述积分得

1 (3

2 )

8 ( )

1 ln

2 Bd g Bd Bd g t B Bd g ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将203SU B md ? ? 代入上式得