PDF《第十四章习题》

37 第十四章习题 1.

(1) 设t时刻氨氮的浓度为 ( ) N t ,日降解系数为k ,则氨氮浓度随时间变 化所满足的微分方程如下:

0 (0) dN k N dt N N ? = ? ? ? ? = ? ,其中

0 N 表示

0 时刻的氨氮浓度. (2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律: (0) 0.41, (9.6451) 0.06 dN k N dt N N ? = ? ? ? ? = = ? 解得

0 ln ln N N k t ? = ? ,带入边界条件 (0) 0.41, (9.6451) 0.06 N N = = 得1993 .

0 = k .从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为 0.1993 dN N dt = ? 注:由于平均水流速度 s m/

6 .

0 ,每天水流路程 m

51840 24

3600 6 .

0 = * * ,流经km

500 需耗时 9.6451 天. (3)如果氨氮降解系数的自然值是 0.3,则你计算的降解系数值是高了还是低 了?这说明了什么问题? 从(2)中计算出的降解系数可以看出,其值 0.1993 比自然值 0.3 低了,说明 在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点,这就为进 一步的治理提供了理论上的依据. 2.设t时刻该湖泊含染物 A 为()Wt,则在时间间隔[ , ] t t dt + 内,有: 进污染物 A 量:

0 0

1 3

2 6 m m V dt dt V * * * = 出污染物 A 量: ( ) ( )

3 3 W t V W t dt dt V * * = 得含污染物 A 量的微元为:

0 ( ) ( )

6 3 m W t dW t dt dt = ? 即0()()36mdW t W t dt = ? + 外加初始条件

0 (0)

5 W m = 解该一阶线性初始问题得:

1 0

0 3

9 ( )

2 2 t m m W t e ? = + 要使得该湖泊含污染物 A 的量不超过

0 m ,则需

1 0

0 3

0 9

2 2 t m m e m ? + ≤

38 解得, 6ln3 6.5916 t ≥ ≈ (年). 3. 若每分钟通入

3 V m 的新鲜空气且排出的量相同, 设t时刻化工车间

2 CO 的 含量为 ( )% C t 则在时间间隔[ , ] t t dt + 内进2CO 的量: 0.04 0.04 V dt Vdt * * = 出2CO 的量: V C t dt VC t dt * * = 得2CO 含量的方程为 ( ) 0.04 ( )

10800 10800 (0) 0.12 dC t V V C t dt C ? = ? + ? ? ? = ? 解该一阶线性初值问题得

10800 ( ) 0.04 0.08 V t C t e ? = + 使得在

10 分钟之后使车间内

2 CO 的含量不超过0.06% ,即1080 0.06 0.04 0.08 V e ? ≥ + 从而,得2160ln

2 1497.2 V ≥ ≈ (

3 m ) 即:每分钟应通入 1497.2

3 m 新鲜空气.

4 . 设t时刻容器内的含盐量为)(t y , 则容器中的溶液总量为ttt+=?+100

2 3

100 ,此时溶液的浓度为 ( )

100 y t t + ,则在时间间隔[ , ] t t dt + 内: 进盐量:

0 出盐量: ( )

2 ( )

2 100

100 y t y t dt dt t t * * = + + 从而含盐量的微元即为:

2 ( )

100 y t dy dt t = ? + 即:

2 ( )

100 dy y t dt t = ? + ,外加初始条件: (0)

10 y = 分离变量解该方程得:

5 2

10 ( ) (100 ) y t t = + 从而一小时后,即60 t = 时,含盐量为

5 2

10 (60) 3.9063 (100 60) y = = + (公斤) 5.设t时刻雪的深度为h ,设在下雪 s 小时后开始扫的雪,设扫雪机前进的 路程为 x ,因为下雪的速度是恒定的,故mdt dh = (1) 因为扫雪机每小时扫去的积雪体积为常数, 所以扫雪机前进的速度与雪的厚

39 度应该成反比,设该比例常数为 k ,则hkdt dx = (2) 由(1)得: mt h = ,代入(2)解得

1 2 ln x c t c = + (3) 其中

1 k c m = ,

2 c 为任意常数. 把初始条件代入方程(3),得12ln

0 c s c + = (4)

1 2 ln( 1)

2 c s c + + = (5)

1 2 ln( 2)

3 c s c + + = (6) 上述方程组消去

1 2 , c c 得:

1 2 ln 2ln

1 s s s s + + = + 化简得:

2 1

0 s s + ? = 解得

5 1 0.618

2 s ? = ≈ (小时)=37.08 分=37 分5秒所以开始下雪时间约为 8-37 分5秒=7 点22 分55 秒. 6.设t 时刻被感染的病人数为 I ,根据无隔离的情形下传染病的传染规律建 立如下模型: ( ) (0)