PDF《孤立系内热传导过程火积耗散的解析解 王焕光 吴迪 饶中浩》

然后推导火积耗散的三维一般 表达式, 同时讨论了熵增的计算式;

最后以两个具 体算例说明火积耗散等参数的变化趋势.

2 孤立系内一维热传导过程火积耗散的 求解 2.1 孤立系内一维热传导过程的温度场 为简化分析, 本文首先以一种简单孤立系作为 对象进行研究, 如图

1 所示. 图1中, 两个物体的材 料、 形状、 质量均相同, 热容、 质量、 热导率、 长度、 热扩散系数分别为 cp, M, λ, L, a;

温度分别为 T1, T2, T1 >

T2. 两物体接触后, 只在接触面上发生传 热, 其余各面均为绝热, 因此, 构成一个孤立系统. 由于两物体沿y 方向的温度均匀分布, 因此, 只在x 方向上发生热量的传递, 即该问题为一维非稳态热 传导问题, 采用分离变量法, 可以得到它的级数形 式的解 [24] , 如下式: T (x, t) = ∞ ∑ m=0 cmX (βm, x) e?aβ2 mt . (1) 其中, 特征方程为 X = cos (βmx) , (2) 特征值为 βm = mπ 2L . (3) 244401-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 64, No.

24 (2015)

244401 系数cm 的计算式如下: cm =

1 N (βm) ∫ 2L

0 X (βm, χ) f (χ) dχ, (4) 其中, N 为范数. 根据阶数 m 的不同, 而有不同的 计算式: N (βm) = ? ? ? L, m ?= 0, 2L, m = 0. (5) 将(5)式代入(4)式, 得到cm 的简化结果 c0 = T1 + T2

2 , cm = T1 ? T2 βmL sin (mπ

2 ) , (6) 以及温度场的完整形式: T (x, t) = T1 + T2

2 + ∞ ∑ k=0 (?1) k

2 (T1 ? T2) (2k + 1) π * cos ( (2k + 1) π 2L x ) exp [ a ( (2k + 1) π 2L )2 t ]. (7) 图1孤立系内一维导热模型 Fig. 1. 1D heat conduction model in an isolated system. 2.2 孤立系内一维热传导过程火积耗散的 求解 文献 [1] 中已经从热力学的角度对上述问题 的火积耗散进行了研究, 得到了传热达到平衡后火积耗 散的解析表达式, 即?G = Mcp [( T1 ? T2

2 )2 ] . (8) 从中可以看出, 传热前后火积耗散的表达式只与传热 前后的状态参数有关. 为了从传热学的观点研究, 文献 ........