PDF《参透数学原理内涵,揭示解题思维本原》

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163.com 数学教学通讯 参透数学原理内涵, 揭示解题思维本原 ―― ―解压轴题中零点问题时定号特征值的取值策略 葛建华 江苏省南通市天星湖中学

226010 [摘要]运用零点存在性定理解决高考压轴题中零点问题是一个严谨的解决途径, 深刻领悟了定理的内涵 可知解题需抓两方面: 函数的单调性和定号特征值的选取, 定号特征值的选取关乎定理运用的成 败,其选取可以从函数特征.含参函数的参数式.复杂函数先缩放成统一函数形式.复杂参数式的取 值范围等角度确定. [关键词]数学原理;

取值策略;

定号特征值;

本原解题 函数零点问题的解决有很多角度 和方法. 其充分体现了函数与方程、数 形结合的数学思想.近年来成为各地高 考命题的热点.解题时.若纯粹从形的角 度解题则不够严谨.有时甚至会出现严 重的问题.因此在解题时还需理清数学 原理.从数学的本原角度解题.这样才 能显现数学的逻辑性、严谨性.从而提 高分析问题、解决问题的能力.真正提 升数学素养. 零点存在性定理: 如果函数y=f(x) 在区间[a.b]上的图像是连续不断的一 条曲线.并且有f(a)f(b) 解题技巧

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邮箱:[email protected] 数学教学通讯 作为定号特征值(如e0 , e1 , e2 , e

1 2 等) ;

遇 到指数函数ex 则可取自然对数值作为定 号特征值,这样便于计算和判断. a 含参函数取含参数式作为 定号特征值 例2 设函数f(x)=ex -ax+a.其图像 与x轴交于A(x1.0).B(x2.0)两点.且x1< x2.则a的取值范围是_ 解析:f′(x)=ex -a. 当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在R上 单调递增,因此其图像与x轴最多一个交 点,不符合题意. 当a>0时,可知f(x)在(-∞.lna)上递 减,在(lna.+∞)上递增,要使得f(x)图像 与x轴有两个交点,必须f(x)min=f(lna)< 0,可解得a>e2 ,下面证明此时f(x)有两个 零点,由于lna>2>1,f(1)=e>0,所以f(x) 在(1,lna)上有一个零点. 下面只要在(lna,+∞)上取一个值x0 使得f(x0)lna,则f(3lna)=a3 -3alna+a, 接下来有两种处理方法: ①利用当a>2>1时,lnaa3 -3a(a-1)+a=a3 -3a2 + 4a>0;

②构造函数,令g(a)=a2 -3lna+1(a> e2 ),由g′(a)=2a-

3 a >0,知g(a)在(e2 , +∞)上单调递增,故g(a)>g(e2 )=e4 -5>0, 所以f(3lna)>0,从而可以知道f(x)在(lna,3lna)上也有一个零点,因此函数 f(x)有两个零点. 点评: 当函数式中含有参数时,取 定号特征值时,往往要带参数,有时可 适当缩放. a 复杂函数先缩放成统一函 数形式再取定号特征值 例3(2013年东城区二模) 已知函 数f(x)=lnx+ a x (a>0). (1)求f(x)的单调区间;

(2)如果P(x0.y0)是曲线y=f(x)上的 任意一点.若以P(x0.y0)为切点的切线的 斜率k≤

1 2 恒成立.求实数a的最小值;

(3) 讨论关于x的方程f(x) = x3 +2(bx+a) 2x -

1 2 的实根情况. 解析:(1)f (x)=lnx+ a x , 定义域为 (0,+∞),则f′(x)=

1 x - a x2 = x-a x2 . 因为a>0, 由f′(x)>0得x∈(a,+∞), 由f′(x)0), 所以 a≥-

1 2 x2

0 +x0对x0>0恒成立. 又当x0>0时,-

1 2 x2

0 +x0≤

1 2 , 所以a 的最小值为

1 2 . (3)由题意,方程f(x)= x3 +2(bx+a) 2x -

1 2 化简得b=lnx-

1 2 x2 +

1 2 ,x∈(0,+∞). 令h(x)=lnx-

1 2 x2 -b+

1 2 ,则h′(x)=

1 x -x= (1-x)(1+x) x . 当x∈(0,1)时,h′(x)>0,当x∈(1, +∞)时,h′(x)0时,h(x)0,g(x)在(0,+∞)上恰有两个零点. (2)由()知,对于φ(x)=ax3 -4ax2 -