PDF《参透数学原理内涵,揭示解题思维本原》

1 2 x+1在(0,+∞)上恰有两个零点x1,x2, 不妨设x10,φ(

1 2 )=

1 8 (6-7a)0,所以F(x)无零点;

②当2a0,故只需 找一个x00,所以只要 使得-(e+2a)x-a≥0即可, 由-(e+2a)x0- a≥0解得x0≤ -a e+2a ,如取x0= -a e+2a ,则F(x0)=ex 0>0,因此F(x)有零点. 实际上,此时会发现 -a e+2a ∈(-

1 2 , 0,因此取x0≤-

1 2 也能解决问题,如x0= -1,则F(-1)=e-1 +e+a>0,进而会大胆尝 试取x0>0,能否使得F(x0)0,所以F(x)有零点. ②当- e

2 ≤a0;

若x>0,由(1)可知,F(x)>F(0)=1- a>0,所以F(x)无零点. ③当a0,又存在 x0= 1-a e+2a

2017 年第

10 期 (下旬) 投稿

邮箱:[email protected] 数学教学通讯 F(x)有零点. 综上,a的取值范围是 -∞,- e

2 ( )∪ [0,+∞). 点评:恰当地选取含参的数值作为 定号特征值,可以使得解题简化,思维 自然,这正是数学之美,蕴藏着严谨.简洁.和谐. 对于上述问题.若换个角度考虑.也 可以有以下解题思路. 另解 函数F(x)有零点,可转化为 方程ex =(2a+e)x+a有解,即为曲线C:y=ex 与直线l:y=(2a+e)x+a有交点,易知直线l 过定点A -

1 2 ,- e

2 ( ),设直线l的斜率为k, 直线l与曲线C相切时斜率为k0, 则k≥k0 或k0,a3 +b3 =2, 所以由三元重要不等式得 a +b =a・ 1・

1 +b・ 1・

1 ≤ a3 +13 +13

3 + b3 +13 +13

3 = (a3 +b3 )+4

3 =2 (当且仅当a=b=1 时, "=" 成立) . 证法5 权方和不等式 因为a>0,b>0,a3 +b3 =2, 则由"权方和不等式:设ai,bi∈R+ (i= 1,2,…,n)且m>0,则am+1 i bm i ≥ ( n i=1 ∑ai)m+1 ( n i=1 ∑bi)m (当 且仅当 a1 b1 = a2 b2 =…= an bn 时取等号) "可得 2=a3 +b3 = a3

12 + b3

12 ≥ (a+b)3 (1+1)2 = (a+b)3

4 (当且仅当a=b时, "=" 成立) , 从而

1 4 (a+b)3 ≤2,即(a+b)3 ≤8, 所以a+b≤2. 证法6 柯西不等式 因为a>0,b>0且a3 +b3 =2, 所以由平均值不等式得a+b

2 ≤ a2 +b2

2 √ (当且仅当a=b时, "=" 成立) , 两边平方化简得 (a+b)2

2 ≤a2 +b2 (当 且仅当a=b时, "=" 成立) . 又由柯西不等式得 (a+b) (a3 +b3 ) =( a √

2 + b √

2 )・ ( a3 √

2 + b3 √

2 )≥( a √ ・ a3 √ + b √ ・ b3 √ )2 =(a2 +b2 )2 (当且仅当a√a3 √ = b √ b3 √ , 即a=b时, "=" 成立) , 两边开方得a2 +b2 ≤ 2(a+b) √ (当且 仅当a=b时, "=" 成立) , 所以有(a+b)2

2 ≤ 2(a+b) √ , 即(a+b)4

4 ≤2(a+b), 所以a+b≤2. 证法7 Carlson不等式 因为a>0,b>0且a3 +b3 =2, 则可构造正数构成的2*3 矩阵a3

1 1 b3

1 1 , 则由Carlson不等式得 [(a3 +b3 )(1+ 1)(1+1)]

1 3 ≥(a3 ・

1 ・ 1)

1 3 +(b3 ・

1 ・ 1)

1 3 ,即a+b≤2. 证法8 幂平均不等式 因为a>0,b>0且a3 +b3 =2, 则由"幂平均不等式:ai>0(1≤i≤n) 且α>α, 则有 n i=1 ∑αα i n 晌尚上上上裳捎梢梢梢1α≥ni=1 ∑αα i n 晌尚上上上裳捎梢梢梢1α(当且仅当a1=a2=a3=…=an时取等号) "可得(a3 +b3

2 )

1 3 ≥(a1 +b1

2 )

1 1 (当且仅当a= b时, "=" 成立) , 即a+b≤2. (上接第

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78 万方数据