PDF《电动力学》

电动力学

第一章:电磁现象的基本规律,电磁相互作用体系的守恒定律 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.

edu.cn March 21,

2019 1 /

50 电磁场能量的描写方法: 电磁场是一种物质,具有能量、动量和角动量. 电 磁场和带电粒子之间的相互作用过程可以看做能 量、动量等物理量的交换过程. ? 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的. ? 电磁场的能量、动量是可以在空间中传播的. 所以,需要用两个物理量分别描写电磁场能量的 分布和传播:

1 能量密度 w = w(? x, t):单位体积的能量.

2 能流密度? S = ? S(? x, t):单位时间垂直穿过单位 横截面的能量,方向为能量传输的方向.

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50 能量守恒定律: 考虑空间中某区域 V, 其界面为闭合曲面 Σ. 设V内有电荷、电流分 布ρ和? J 以及电磁场. 此体系的能量守恒定律写为: ? ? Σ ? S ・ d? σ = ? V ? f ・? v dV + d dt ? V w dV 式中, ? 单位时间内通过界面 Σ 流入区 域V中的能量: ? ? Σ ? S ・ d? σ ? 电磁场对带电粒子所作功率: ? V ? f ・? v dV ? 电磁场的能量增加率: d dt ? V w dV

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50 能量守恒定律 (续): 讨论:

1 若V包括整个空间,则: ? V ? f ・? vdV = ? d dt ? V wdV 即电磁场对电荷、电流所作的总功率等于场的 总能量的时间减小率,因此电磁场与电荷、电 流构成的体系的总能量守恒.

2 能量守恒定律还可以表为微分形式: ?? ・? S =? f ・? v + ?w ?t

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50 w 与?S的表达式: 电磁场施加于自由电荷、传导电流分 布的 Lorentz 力密度矢量为, ? f = ρf ? E +? Jf * ? B 所以, ? f ・? v = ρf ? v ・ ? E + ρf ? v ・ (? v * ? B) =? Jf ・ ? E 式中? Jf = ρf ? v. 根据麦克斯韦方程知: ? Jf = ? * ? H ? ?t ? D 所以, ? f ・? v = ? E ・ (? * ? H) ? ? E ・ ?t ? D 进一步的分析需要处理 ? E ・ (? * ? H). 在直角坐 标系中, ? a ・? b = aibi, ? ・? a = ?iai, ? *? a = ?ijk? ei?jak

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50 w 与?S的表达式 (续一): 采取直角坐标系, ? E ・ (? * ? H) = Ei(? * ? H)i = ?ijkEi?jHk = ?j ( ?ijkEiHk ) ? ?ijk(?jEi)Hk E * ? H) + ? H ・ (? * ? E) E * ? H) ? ? H ・ ?t ? B 最后一步使用了法拉第电磁感应定律.所以, ? f ・? v E * ? H) ? ? H ・ ?t ? B ? ? E ・ ?t ? D 将此式于微分形式的能量守恒定律 ?? ・? S =? f ・? v + ?tw 比较,得知: ? S = ? E * ? H ?tw = ? E ・ ?t ? D + ? H ・ ?t ? B

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50 w 与?S的表达式 (续二): 能量密度必须分不同情况讨论: ? 在真空中,? D = ?0 ? E, ? H = ? B/?0. 所以: ? S =

1 ?0 ? E * ? B, w =

1 2 [ ε0E2 +

1 ?0 B2 ] . ? 把极化能和磁化能包括在介质的总电磁能量中, 可给出一般介质中场能量的改变量: δw = ? E ・ δ? D + ? H ・ δ? B ? 对于各向同性的线性介质,? D = ?? E, ? B = ?? H, 从而: w =

1 2 [ ? E ・ ? D + ? H ・ ? B ]

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50 例一: 同轴传输线内导体半径为 a,外导线半 径为 b,两导线间为均匀绝缘介质. 导 线载有电流 I,两导线间的电压为 U.

1 忽略导线的电阻,计算介质中的 能流 ? S 和传输功率;

2 计及内导线的有限电导率,计算 通过内导线表面进入导线内的能 流,证明它等于导线的损耗功率. 解: 考虑介质中的 P 点,其半径为 r (a <

r <

b). 由安培环路定 律知 P 点的磁场强度, ? H = I 2πr ? e? 设导线上线电荷密度为 τ,则P点处的电场强度为: ? E = τ 2πεr ? er

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50 电荷线密度 τ 可以用导线间电压 (这是已知量) 表出: U = ? b a ? E ・ d? r = τ 2πε ln (b/a) ? τ = 2πεU ln (b/a) 故能流密度矢量 (坡印亭矢量) 为: ? S = ? E * ? H = Iτ 4π2εr2 (? er *? e?) = UI 2πr2 ln(b/a) ? k 传输线的总传输功率为: P = ? b a ? S ・ ? k 2πrdr = ? b a UI 2πr2 ln(b/a) 2πrdr = UI ln(b/a) ? b a