PDF《电动力学》

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50 计及内导体的有限电导率 σ,则内导体中的场点 P 处电场强度不 为零. 按照欧姆定律和安培环路定律,P 点的电场强度、磁场强 度分别为: ? E′ = ? J σ = I πa2σ ? k , ? H′ = Ir 2πa2 ? e? ,

0 ≤ r ≤ a . 所以,内导体中场点 P 处的能流密度矢量是: ? S′ = ? E′ * ? H′ = I2r 2π2σa4 (? k *? e?) = ? I2r 2π2σa4 ? er ,

0 ≤ r ≤ a 显然,这部分能量流入导体内部作为焦耳热消耗掉了. 流入长度 L 的一段导线内部的功率为: P′ = ? S′ |r=a ・ (?? er)2πaL = (2πaL) ・ I2 2π2σa3 = I2 L πa2σ = I2 R 式中 R = L/σπa2 是导线的电阻.

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50 电磁场的动量: 作为传递带电粒子之间电磁相互作用的媒介,电磁场本身也是物 质存在的一种基本形式. 电磁场本身也具有能量、动量、角动量 等物质基本属性. 现在研究电磁场的 动量 . 我们的基本研究方法是分析电磁场与带电 粒子之间相互作用的 Lorenz 力公式. 考虑空间的某区域 V,其内有电荷电流分 布(ρ, ? J) 及电磁场. ? V 内的场与电荷、电流之间由于相互 作用会发生动量转移. ? V 内的场与 V 外的电磁场或者电荷、 电流分布也可以通过界面 Σ 发生动量 转移.

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50 电磁场的动量

(二): 从物理直观上讲:

1 若将 V 内、外的电磁场及电荷、电流分布作为一个整体,则 这个整体可以看作是一个孤立体系,其总动量应该是不随时 间变化的.

2 若仅仅把 V 内的电磁场作为研究对象,则其与 V 内的电荷、 电流系统,以及 V 外的环境之间都可以有动量的交换. 于是,V 内电磁场的动量守恒定律可以表述为: 单位时间内从区域 V 的外部通过界面 Σ 传入到 V 内 的动量应等于 V 内电荷、电流的动量增加率与 V 内 电磁场本身的动量增加率之和. 以下我们利用 Maxwell 方程组与 Lorentz 力公式把电磁场的动量 守恒定律写成数学方程.

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50 Lorentz 力公式: 区域 V 内的电荷、电流所受到的电磁场作用力由 Lorentz 力公式 给出.以? f 表示 Lorentz 力密度,则: ? f = ρ? E +? J * ? B 借助于真空中的 Maxwell 方程组,可以把上式右端改写为: ρ? E +? J * ? B = ( ?0? ・ ? E ) ? E + [

1 ?0 ? * ? B ? ?0?t ? E ] * ? B = ( ?0? ・ ? E ) ? E +

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B ? ?0 ( ?t ? E ) * ? B = ( ?0? ・ ? E ) ? E +

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B ? ?0?t ( ? E * ? B ) + ?0 ? E * ?t ? B = ( ?0? ・ ? E ) ? E +

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B ? ?0?t ( ? E * ? B ) ? ?0 ? E * ( ? * ? E )

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50 Lorentz 力公式

(二): = ( ?0? ・ ? E ) ? E + [

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B + ?0 ( ? * ? E ) * ? E ] ? ?0?t ( ? E * ? B ) = [( ?0? ・ ? E ) ? E +

1 ?0 ( ? ・ ? B ) ? B ] + [

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B + ?0 ( ? * ? E ) * ? E ] ? ?0?t ( ? E * ? B ) 于是,Lorentz 力公式可以重新表达为: ? f + ? ?t ( ?0 ? E * ? B ) = [ ( ?0? ・ ? E ) ? E +

1 ?0 ( ? ・ ? B ) ? B +

1 ?0 ( ? * ? B ) * ? B + ?0 ( ? * ? E ) * ? E ] Question : 此式有何物理意义?

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50 电荷电流分布的动量密度 : Claim : 上式应诠释为区域 V 内由电荷、电流分布以及电磁场共 同构成的体系的动量守恒定律. 理由如下. 按照 Newton 第二定律,安培力密度? f = ρ? E +? J * ? B 可解释为 V 内电荷、电流分布的动量密度 ? ? 的 时间增加率 : ? ?t ? ? =? f 电荷、电流分布的总动量为: ? p = ? V d3 x ? ? 显然,若V内的电荷、电流分布由 N 个离散的点电荷所构成,第i个点电荷位矢为? xi、动量? pi,则有: ? ? = N ∑ i=1 ? pi δ(3) (? x ?? xi)