PDF《解析几何问题的创新解法从哪里来》

解析几何问题的创新解法从哪里来 王成杰1 刘新春2 ( 1.

江苏省扬中高级中学

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0 0;

2. 扬中市教师发展中心

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0 0 ) 我们常常惊叹于各种数学杂志资料上介绍的 数学问题的精妙解法, 我们也偶尔对自己灵光闪 现发现的优美解法洋洋得意, 我们更为教学中学 生创造的层出不穷的奇妙解法所吸引, 感叹数学 解题方法真是没有最好只有更好. 冷静下来, 我们 不禁要问: 创新解法你从哪里来?构建充满联系 的知识结构, 探究问题背后的本质规律, 掌握解决 问题的基本策略, 反思解题方法的缺陷不足, 坚持 策略方法的不断改进, 捕捉奇思妙想的灵感闪现, 创新解法往往会不期而遇. 以下以解析几何问题 的求解为例, 探究如何发现创新解法.

1 显现隐含条件 在许多解题实践中, 我们常常被多种题设条 件的表面含义所遮蔽, 而发现不了这些条件背后 的隐含条件, 更发现不了隐含条件背后的最核心 的原理, 只能就事论事. 直译 条件造成解法繁 琐, 运算复杂. 甚至无法求解. 破译隐含条件, 打通 条件与 结论的最简通道, 则优美解法就会水到渠成. 例1 (

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1 7 年江苏省高考数学试题第17题) 在平面直角坐标系x O y 中, 椭圆 E: x

2 a

2 + y

2 b

2 =

1 ( a>

b>

0 ) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 离心率为

1 2 , 两准线之间的距离为8. 点P在椭圆E 上, 且 位于第一象限, 过点F1 作直线 P F1 的垂线l 1, 过点F2 作直线 P F2 的垂线l 2. (

1 ) 求椭圆E 的标准方程;

(

2 ) 若直线l 1, l

2 的交点 Q 在椭圆E 上, 求点 P 的坐标. 分析 本题主要考察直线方程, 直线与直线 的位置关系, 椭圆方程, 椭圆的几何性质等基础知 识, 考察分析问题、 解决问题能力和运 算求解能力. 常规解法如下: 解析1 (

1 ) 设椭圆的半焦距为c, 因为椭圆离心率为1

2 , 两准线间的距离为8, 所以c a =

1 2 ,

2 a

2 c =8, 解得a=2, c=1, 于是b= a

2 - c 2=3. 因此, 椭圆的标准方程为x

2 4 + y

2 3 =1. (

2 ) 由( 1) 知F1( -1, 0) , F2( 1, 0) , 设P( x 0, y 0) , 因为 P 为第一象 限的 点, 故x0>

0, y

0 >

0, 当x 0=1, l

1 与l

2 相交 于F1, 与题设不符, 当x0≠1,直线PF1 的斜率为 y

0 x 0+1 , 直线 P F2 的斜率为y0x0-1 , 因为l

1 ⊥P F1, l

2 ⊥ P F2, 所以直线l

1 的斜率为- x 0+1 y

0 , 直线l

2 的斜 率为- x 0-1 y

0 , 从而直线l

1 的方程: y =- x

0 +1 y

0 ( x+1 ) , ① 直线l

2 的方程: y =- x

0 -1 y

0 ( x-1 ) . ② 由①②,解得x=-x0, y = x

2 0-1 y

0 ,所以Q-x 0, x

2 0-1 y ( )

0 .因为点Q 在椭圆上, 由对称性, 得x20-1 y

0 =± y 0, 即x

2 0- y

2 0=1或x

2 0+ y

2 0=1. 又P 在椭圆E 上, 故x204+y203=1.

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1 8年第5 7卷第1 1期 数学通报 由x20- y

2 0=1 x

2 0

4 + y

2 0

3 =1 解得 x 0= 477,y0= 3=77;

x20+ y

2 0=1 x

2 0

4 + y

2 0

3 =1 , 无解. 所以点 P 的坐标为 477,37()7.分析以上解法可知, 此解法过程仅仅是对题 目条件进行了按部就班的代数化直译, 出现了三 次解方程组, 导致运算量加大, 解题步骤增加. 如 果细心分析此题条件, 结合下图可以发现, P F1⊥ Q F1, P F2⊥Q F2, 则F1, F2 均在以 P Q 为直径的 圆上, 而圆心在 F1 F2 为线段的垂直平分线即y轴上, 由圆与椭圆均关于y 轴对称, 设P Q 与y 轴 交于点 M , 则PM=MF=R, 设点 P 的横坐标为 R, 则纵坐标为 R2 -1, 代入椭圆方程可以解出 P 的坐标为 477,37()7.解析