PDF《解析几何问题的创新解法从哪里来》

2 由题意知, P F1⊥Q F1, P F2⊥ Q F2, 则F1, F2 均在以 P Q 为直径的圆上, 而圆心在线段F1 F2 的垂直平分线上, 即y轴上. 又圆与椭圆均关于y 轴对称, 设PQ与y轴交于点 M, 则PQ⊥y 轴, 且PM=MF=R. 可设点P 的横坐标为R, 则纵坐标为 R

2 -1, 代入 椭圆 方程得R

2 4 + ( R

2 -

1 )

2 3 =1 , 解得R= 4=77,1-R 2=3=77,所以点P 的坐标为 477,37()7.从这一分析过程可知, 本题中发现优美解法 的关键隐含条件就是 P, Q 是经过椭圆焦点的圆 与椭圆的交点, 且是圆 M 的直径端点, 发现了这 一隐含条件, 简捷解法跃然纸上.

2 优化图形结构 解析几何的源泉是几何, 图形是直观表现形 式, 是问题的起点和归宿, 而代数方法 仅仅是工具, 看穿图形的整体结构和本质特征就能大道至 简, 一招封喉 , 化繁为简, 发现隐含图形之中的 简单方法. 例2 ( 北京市

2 0

1 0年高考试题) 在平面直 角坐标系x O y 中, 点B与点A( -1, 1) 关于原点 O 对称, P 是动点, 且直线 A P 与B P 的斜率之积 等于-

1 3 . (

1 ) 求动点 P 的轨迹方程;

(

2 ) 设直线 A P 和B P 分别与直线x=3交于 点M, N,问:是否存在点P使得PAB与PMN 的面积相等?若存在, 求出点 P 的坐标;

若不存在, 说明理由. 分析 ( 1) 动点P的轨迹方程易得x2 +

3 y

2 =4, ( x≠±1 ) , 解题过程略. 以下着重分析第(

2 ) 小题. 由题意知问题关键 是如何表示两个三角形的面积, 由于 A B 长为定 值22, P 点到 A B, MN 的距离容易表示. 因此 得到以下解法1: 解法1 设P( x 0, y 0) , 因为 A( -1, 1) , B( 1, -1 ) , 则直线 A B 的方程为x+ y=0. 点P 到直线 A B 的距离为d= x 0+ y

0 2,由直线 A P 的方程 y-1= y 0-1 x 0+1 ( x+1 ) 可得 M( 3,

4 ( y 0-1 ) ( x 0+1 )+1) , 由 直线B P 的方程y+1= y 0+1 x 0-1 ( x-1) 可得 N( 3,

2 ( y 0+1 ) ( x 0-1 )-1 ) , 所以 SA B P =

1 2 A B・d=

1 2 *2 2* x 0+ y

0 2=x 0+ y 0, SP MN =

1 2 *(

3 - x 0) *

2 ( y 0+

1 ) x 0-

1 -

4 ( y 0-

1 ) x 0+

1 -

2 =(

3 - x 0) * ( y 0+1 ) ( x 0+1 ) -2 ( y 0-1 ) ( x 0-1 ) x

2 0-1 -1 = ( 3-x 0)

2 ( x 0+ y 0) x

2 0-1 , 由SA B P =SP MN 可得( 3-x 0)

2 =x

2 0-1, 解得x 0=

5 3 . 以上解法着眼于从两个三角形的边与高的数 量关系出发, 表示两个三角形的面积. 如若抓住两

8 5 数学通报

2 0

1 8年第5 7卷第1 1期 个三角形的一对对顶角, 则可另辟蹊径表示三角 形面积, 获得解法2. 解法2 由SA B P =SP MN , 可得SA P B =

1 2 | P A | | P B | s i n ∠A P B, SM PN =

1 2 | PM| | PN |・ s i n ∠MPN, 即|PA||PB|=|PM | | PN | 或| P A | | PM| = | PN | | P B | , 由比例 性质, 它们在x轴上的投影比相等, 可得 ( x P -x A ) ( x P -x B) =( xN -x P ) ( xM -x P ) , 即( x P +1 ) ( x P -1 ) =( 3-x P ) ( 3-x P ) , 解得x P =

5 3 . 上述两种解法瞄准了几何图形的局部和细节 ( 边或角) 获得解法. 如能跳出细节, 着眼于从几何 图形的整体结构出发, 通过等积变换, 发现几何图 形更进一步的几何特征― ― ―点P是ADN 的重 心, 由于点 A, D, N 的横坐标已知, 因而能便捷地 求出 P 点的坐标. 解法3连结AB并延长交直线x=3 于点D, 连结AN, 要使SA B P =SP MN , 需且只须SA MD =SB ND , 由于 B 为AD 中点, 所以SB ND =

1 2 SA ND 成立, 只须 SA MD =

1 2 SA ND 成立, 只须M为ND 中点即可, 此时点P是ADN 的重心. 由三角形的重心坐标 公式可得xP=xA+xD +xN

3 = -1+3+3

3 =