PDF《一类柱铰链动约束力问题的解答与探讨》

335 图1机械式调速器示意图 图2达朗贝尔原理的例题示意图 的关系,此结果在教学中有一定的参考价值.

1 问题的提出 匀质杆 AB 长为 l, 质量为 m, 以等角速度 ω 绕 铅垂轴 z 转动,如图 3(a) 所示. 试求杆与铅垂线的 夹角 β 及铰链 A 的动约束力. 此类题多出现在理论 力学的达朗贝尔原理章节中,沿用多年. 在一般情 况下其答案为: (a) (b) 图3机械结构及受力图 以AB 杆为研究对象,其受力图如图 3(b) 所示,其惯性力为 [3] FI = mlω2 sin β

2 由达朗贝尔原理 MAy (F) =

0 ? 2FIl cos β

3 + mgl sin β

2 =

0 Fx =

0 , FAx + FI =

0 Fz =

0 , FAz + mg =

0 计算得 β = arccos 3g 2lω2 FAx = ? mω2 sin β

2 FAz = mg 但在此题意中, 并没有确定夹角是固定不变的, 并且 从约束上来讲, 物体是可以围绕柱铰链转动的, 此解 法只得到了人为认为夹角不变条件下的结果,并不 完全符合动力学规律, 那么还有别的答案吗?

2 问题的解答 取细杆 AB 为研究对象. 因细杆绕柱铰链 A 运动, 并随铅直轴一起转动, 严格来说, 它是一个空间 动力学问题, 因此, 可用一般动力学方法求解. 为此 建立如图 4(a) 所示的细杆的连体坐标系 Ax y z , 显 然该坐标系就是细杆在点 A 处的惯性主轴坐标系, (a) 图4受力图及运动示意图

336 力学与实践2016 年第38 卷(b) 图4受力图及运动示意图 (续) 细杆对轴 Ax , Ay 和Az 的转动惯量分别为 Ix = Iz =

1 3 ml2 , Iy =

0 (1) 根据刚体运动学, 细杆的绝对角速度、 绝对角加速度 分别为 [4] ? = ?ω sin βi ? ω cos βj + B βk (2) ε = ?ω cos β ・ B βi + ω sin β ・ B βj + ¨ βk (3) 在细杆质心 C 点的加速度矢量图如图 4(b) 所示, 细杆的质心加速度为 aC = (?aτ r + an e cos β)i + (?an r ? an e sin β)j + (?2ωvr cos β)k = (aτ r cos β ? an r sin β ? an e )i + (2ωvr cos β)j+ (aτ r sin β + an r cos β)k (4) 其中 aτ r =

1 2 l ¨ β , an r =

1 2 l B β2 an e =

1 2 lω2 sin β , vr =

1 2 l B β (5) 细杆的受力图如图 4(a) 所示,其中 Fx 和Fy 分别表示柱铰链 A 的约束力沿轴 Ax 和Ay 方向 的两个正交分量, Mx 和My 分别表示柱铰链 A 的 动约束力偶沿轴 Ax 和Ay 方向的正交分量. 刚体的一般运动微分方程为 maC = F (6) Ix εx + (Iz ? Iy )ωz ωy = Mx Iy εy + (Ix ? Iz )ωx ωz = My Iz εz + (Iy ? Ix )ωy ωx = Mz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7) 将式 (1) ? 式(3) 代入式 (7),将式 (4)、式(5) 代入式 (6) 得m?12l¨β+12lω2 sin β cos β ? mg sin β = Fx m ? ωl B β cos β = Fz m ?

1 2 l B β2 ?

1 2 lω2 sin2 β ? mg cos β = Fy ?

2 3 ml2 ω B β cos β = MAx MAy =

0 1

6 ml(2l ¨ β ? lω2 sin 2β + 3g sin β) = MAz =

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (8) 即为细杆的动力学方程. 这是一个非线性方程组, 只有给了初始条件才能利用式 (8) 中最后一个方程 求出夹角值 β 的变化规律,然后将其结果代入其他 方程才能求出约束力 Fx , Fy , Fz , MAx . 将结果变换到 Axyz 坐标系则得 m

1 2 l ¨ β cos β ?

1 2 l B β2 sin β ?

1 2 lω2 sin β = FAx mωl B β cos β = FAy m

1 2 l ¨ β sin β +

1 2 l B β2 cos β + g = FAz

2 3 ml2 ω B β cos2 β = MAx

2 3 ml2 ω B β cos β sin β = MAz

1 6 ml(2l ¨ β ? lω2 sin 2β + 3g sin β) =

0 从而可以看出,¨ β, B β 对FAx, FAy, FAx, MAz 和MAz 等约束力的影响,只有当 ¨ β = B β =

0 时,才能 得β=arccos 3g 2lω2 FAx = ? mω2 sin β