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1 ,这两个最优化问题(在加入风险厌恶因子δ 后,可以合并为一个问题)的解就 涉及到有效边界的概念,以下是一个有效边界的例子,下图中青色填充区域为可行区域,红色点构 成的曲线表示有效边界(不包含无风险资产) .直观上也是很好理解的,给定风险承受水平后,投 资者必定会选择期望收益最大的点,这个点就位于红色曲线上;

而给定期望收益后,投资者也必定 会选择左边界上的点(因为风险最小) ,且期望收益的选择必定高于最小方差点对应的期望收益. 理性的投资者都将选择红色曲线上的点构造投资组合.? 投资组合包含无风险资产(投资者将把部分资金存入银行或者投资债券,收益率记为 rf,即如 上所述的 rf r )时,各个风险资产相互间的投资比例仍是一样的,这样当整个风险资产的投资占比 变化时,风险也将线性变化,如下图中,由点(0,rf)引出的斜率为正且与可行集相切的直线即为 引入风险资产后的有效边界.? ? ? ? ? 北京中期期货 ? 您保值增值的平台 4? ? 北京中期期货? BEIJING?CIFCO?FUTURES? 商品市场研究? 注: 总商品 、 有色 、 化工 、 农产品 、 黄金 , 钢材 分别表示国内商品期货市场的各个指数,各个指数构造详细情况可参 考上一期报告(链接参见内容摘要页) ,数据范围为

2000 年1月4日至

2010 年8月31 日.这里把 总商品 当成大盘基准指数, 有色 、 化工 、 农产品 、 黄金 , 钢材 则可看做具体品种. 现在我们考虑风险厌恶因子δ ,这个风险厌恶因子是在风险与期望收益之间的权衡,构造拉格 朗日函数,最优化问题可转化为:? ? W W W r T T rf W ∑ ? +

2 max δ μ ? 这等价于:? W W W T T W ∑ ?

2 max δ μ ? 解得:? μ δ

1 * ) ( ? ∑ = W ? ? ? ? ? 例一:我们把 Markowitz 均值方差方法构建的投资组合应用在不同时间,具体时间如下图中所示, 计算出的权重为:? ? 权重? 有色 化工 农产品 黄金 钢材 组合一? \1.56 \1.06 \3.12? 1.62 6.08 组合二? \0.89 \0.51 \1.25? 1.25 3.31 ? ? ? ? 北京中期期货 ? 您保值增值的平台 5? ? 北京中期期货? BEIJING?CIFCO?FUTURES? 商品市场研究? ? 从该例子中, 我们可以看出两个例子的表现很不稳定, 而这也是 Markowitz 最受人诟病的地方, 过于依赖历史数据使得该模型在实际应用中会碰到诸多问题.? ? ? Markowitz 模型缺陷? Markowitz 模型主要存在以下几个问题:? z 用历史数据模拟样本均值, 并不是很好的处理方法, 这往往会导致某些资产出现不合理的超配;

? z 没有考虑到资产的市值,有时往往会给规模较小但预期收益较高的资产配置较大权重;

? z 输入敏感,一些参数的较小波动往往使得投资组合产生较大的变化;

? 除了以上几个主要问题外,我们从 Markowitz 的构造方法也可以看出,这是一个比较消极的模型, 利用收益与风险的权衡的想法是很有借鉴意义的,但该模型仅仅是依赖于资产的历史表现来决定投 资组合,并没有考虑到一些人为的看法,而这恰恰就是下面我们要介绍的 Black\Litterman 模型要解 决的问题.?

二、 Black\Litterman 模型? 在上一节中我们简要介绍了 Markowitz 的均值\方差模型的基本原理以及其缺陷, 本节要介绍的 BL 模型以市场均衡为出发点,目的是得到一个能战胜市场的投资组合,该组合稳定性较好(克服了 ? ? ? 北京中期期货 ? 您保值增值的平台 6? ? 北京中期期货? BEIJING?CIFCO?FUTURES? 商品市场研究? 以上 Markowitz 模型的一些缺点) ,并且有明确的比较基准(市场组合) .? BL 模型是在