PDF《明天还会出太阳吗？》

数学文化 第7卷第2期2016

28 athematics Education 数学教育 M 明天还会出太阳吗?1 钟开莱 / 文 胡佳 / 译 如果已经连续出了 n 天太阳,那么下一天继续出太阳的几率是多少呢?拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)给出了答案 : n +1 n +

2 .

对n=1,答案就是

2 3 .既然他假定每天 出太阳或不出太阳的几率相等,那么答案为什么不是

1 2 呢? 考虑箱子模型,箱子中有两个球,颜色或黑或白.从箱子里摸出第一个球并发现 这个球是白色的,那么另一个球也是白色的几率是多大呢? 箱子里可能包含了 i 个黑球,i = 0, 1, 2.拉普拉斯称这些可能性为 条件 ,以后 将用 Ci 来表示它们(记号具有不可思议的重要性!) ,用E来表示摸到的第一个球是 白球的 事件 ,用F来表示第二个球也是白球的事件.那么我们就可以得到条件概率 P(E Ci ) =

2 ? i

2 , i = 0,1, 2. 拉普拉斯认为 逆概率 应该正比于上述条件概率.这被称为贝叶斯法则( Bayes'

s Rule) .令S=P(E Ci i ∑ ). (1) 则P(Ci E) = P(E Ci ) / S. (2) 读者现在可以计算所需的结果 P(F E) = P(Ci E i ∑ )P(F Ci ? E). (3) 并对拉普拉斯的答案感到满意了.

1935 年,我在中国上海立达学园上高三.刘炳震那时念高二.我们在一堂代数 课上学习了拉普拉斯的日出定理.概率是代数课程中排列组合的后继内容,例如范恩 (Henry Burchard Fine,普林斯顿大学那栋古老而庄严的范恩大楼即以他的名字命名) 那本不可思议的著作.2 那时这本书被中国的很多高中作为教材来使用,取代了早先一 些更难的英国教材. 我们对老师关于这一结果的证明并不满意,所以决定自己想出一个证明.经过一 番冥思苦想,我们得到了答案,事实上我们在王星拱

3 的一本论科学方法的书里找到了 一个一般形式.这里有一个中间结果,是问题的核心.

1 原文标题是 Will the Sun Rise Again? ,发表于新加坡数学会普及刊物 Mathematical Medley, Volume 29, No. 2, December 2002, pp. 67-73.

2 H. B Fine: A College Algebra, Ginn &

Co., 1901. 范恩的书有中译本,即《范氏大代数》.

3 王星拱 (1888C1949),著名教育家、化学家、哲学家.著作多部论科学方法通俗著作.

2016 第7卷第2期 数学文化

29 athematics Education 数学教育 M 一个箱子里包含了若干个黑色和白色的球.连续取出 n 个球(不再放回)并发现 有n-r个白球,0 ≤ r ≤ n.那么下一个取出来的球(当然,假设箱子不空)是白色的 几率是多大?答案是 n ? r +1 n +

2 .对r=0,就是先前的情形. 令箱子里的球的总数为 n + m,这里 m ≥ 1.用Ci 来表示箱子里的黑球总为 r + i 的拉普拉斯条件,用E来表示事件取出来的前 n 个球里恰好包含了 r 个黑球,用F表示 事件第 n +

1 个取出的球是白球.正如之前的那个最简单的情形一样,我们可以计算出 各种情况下的条件概率.现在我们需要学会计算排列组合,可参阅前面提到的《范氏大 代数》或其他初等教材,如4.结果记录如下,以供读者验证.S 如(1) 定义,i 具有新的取值范围

0 ≤ i ≤ m. P(E Ci ) = n r ? ? ? ? ? ? m i ? ? ? ? ? ? n + m r +1 ? ? ? ? ? ? ?1 ;

P(E F ?Ci ) = m ?1 n ? ? ? ? ? ? m i ? ? ? ? ? ? ?1 . 经过一些显然的操作,我们可以得到 S = n + m n ? ? ? ? ? ? ?1 r + i r ? ? ? ? ? ? i=0 m ∑ n + m ? r ? i n ? r ? ? ? ? ? ? . (4) 这个求和的计算有赖于下面这个主要等式 : 对于非负整数 x, y, z 和i,有:x+ix??????i=0 z ∑ y + z ? i y ? ? ? ? ? ? = x + y + z +1 x + y +1 ? ? ? ? ? ? . (5) 将(5)代入(4)可得 n + m n ? ? ? ? ? ? ?1 n + m +1 n +1 ? ? ? ? ? ? = m + n +1 n +1 . (6) 现在我们令 f (n,m) = n r ? ? ? ? ? ? ?1 S. 那么 显而易见 (正如拉普拉斯必然会说的)有P(F E) = f (n +1,m ?1) f (n,m) . 在 奇妙 的抵消之后,化简即得我们想要的结果 : n ? r +1 n +