PDF《第三章 波动方程》

第三章 波动方程 波动方程是最典型的一类双曲型方程,它可以用来描述自然界以及工程技术中的 波动现象,例如在研究波的传播以及弹性体振动时经常会遇到这类方程.

本章我们 将介绍波动方程的一些基本概念,方法和结果.在

第一节中我们介绍一维波动方程 的Cauchy问题,着重介绍线形方程的叠加原理和齐次化原理(或称Duhamel原理). 在

第二节中我们介绍一维波动方程的初边值问题,着重介绍一种常见的解法―分离变 量法.

第三节中介绍高维波动方程的Cauchy问题,特别地,用球平均法导出三维波动 方程Cauchy问题的解的表达式,即Poisson 公式,进而用降维方法导出了二维波动方 程相应的解的公式.在

第三节的基础上,在

第四节中我们研究了波动方程解的一些 性质,譬如波的传播方式和衰减等,进而发现不同维数的波动方程的解的性质有着 巨大差别.在

第五节中,我们利用能量估计(或称能量积分)的方法,讨论了波动 方程Cauchy问题以及初边值问题解的唯一性和稳定性.这种方法的基础是能量守恒原 理. § 1. 一维波动方程Cauchy问题 本节我们讨论一维波动方程的Cauchy问题,着重介绍一维波动方程的叠加原理和齐 次化原理(或称为Duhamel原理). 1.1 叠加原理 在物理学的研究中经常会出现这样的现象:几种不同的原因的综合所产生的效果 等于这些不同原因单独产生的效果的叠加.例如,几个外力同时作用在一个物体上 所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得 出.这个原理被称为::: 叠:: 加::: 原::: 理.叠加原理的适用范围很广泛,譬如,叠加原理对于 用线 . 性.方.程.和线 . 性.定.解.条.件.描述的物理现象来说,都是成立的.下面我们利用一个具 体例子说明之.对于弦振动方程,如果u1(t, x)是方程 utt ? c2 uxx = f1(t, x) 的解,而u2是方程 utt ? c2 uxx = f2(t, x)

1 的解,那么对于任意的常数C1和C2,函数 u(t, x) = C1u1(t, x) + C2u2(t, x) 是方程 utt ? c2 uxx = C1f1(t, x) + C2f2(t, x) 的解.关于叠加原理的一个典型的例子就是声学中把弦线振动时所发生的复杂的声音 分解成各种单音的叠加.事实上,早在十八世纪Bernoulli以及以后的Fourier就利用这 个原理来研究弦振动方程的问题. 1.2 齐次化原理 考虑下述Cauchy问题 utt ? c2 uxx = f(t, x), (1.1) t =

0 : u = 0, ut = 0, (1.2) 其中c >

0是一常数,表示波的传播速度,f(t, x)是一给定的函数,表示 t 时刻在 x 处单 位质点所受的外力.方程(1.1) 可用来描述强迫振动的弹性弦的微小振动. 为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2),我们引入 wtt ? c2 wxx = 0, (1.3) t = τ : w = 0, wt = f(τ, x). (1.4) 记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为 w = w(t, x;

τ), (1.5) 则我们有 定理 1.1 如果w = w(t, x;

τ)是Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解(其中τ是参数),则Cauchy问题(1.1)-(1.2) 的解可以表示为 u(t, x) = t

0 w(t, x;

τ)dτ. (1.6) 定理1.1被称为齐次化原理或Duhamel原理. 证明 首先我们验证由(1.6)式定义的函数u(t, x)满足初始条件(1.2)式.

2 由(1.6)式,显然有 u(0, x) = 0. (1.7) 另一方面,从(1.6)式可得 ut(t, x) = w(t, x;

t) + t

0 wt(t, x;

τ)dτ, 于是,再利用(1.4)可知 ut|t=0 = w(0, x;

0) = 0. (1.8) (1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立. 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1). 由(1.6)及(1.4)易知 ut(t, x) = w(t, x;