PDF《第三章 波动方程》

5 注记1.1 利用叠 . 加.原.理.,我们容易得到下述一般的Cauchy问题 ? ? ? utt ? c2 uxx = f(t, x) (t >

0, x ∈ R), t =

0 : u = ?(x), ut = ψ(x) (x ∈ R) (1.24) 的解. 注记1.2 齐次化原理不仅可以应用于非齐次波动方程的Cauchy问题,而且也能应用 于初边值问题以及其它方程(譬如热传导方程)的定解问题,以后我们将多次用到这 一原理. 习题1. 证明方程 ? ?x (1 ? x h )2 ?u ?x =

1 a2 (1 ? x h )2 ?2 u ?t2 (h >

0为常数) 的通解可以写成 u = F(x ? at) + G(x + at) h ? x , 其中F, G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题: t =

0 : u = ?(x), ?u ?t = ψ(x). 2. 问初始条件?(x)与ψ(x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成? 3. 利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 u ?t2 = a2 ?2 u ?x2 , u|x?at=0 = ?(x), u|x+at=0 = ψ(x) (其中?(0) = ψ(0)). 4. 对非齐次波动方程的初值问题(1.24),证明:当f(x, t)不变时, (1)如果初始条件在x轴的区间[x1, x2]上发生变化,那么对应的解在区间[x1, x2]的 影响区域以外不发生变化;

(2)在x轴区间[x1, x2]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1, x2]的决定区域中解的 数值.

6 5. 求解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? utt ? a2 uxx = 0, x >

0, t >

0, u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = 0, ux ? kut|x=0 = 0, 其中 k为正常数. 6. 求解初边值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? utt ? uxx = 0,

0 <

t <

kx, k >

1, u|t=0 = ?0(x), x 0, ut|t=0 = ?1(x), x 0, ut|t=kx = ψ(x), 其中?0(0) = ψ(0). 7. 求解下述边值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? utt ? uxx = 0,

0 <

t <

f(x), u|t=x = ?(x), u|t=f(x) = ψ(x), 其中?(0) = ψ(0), t = f(x)为由原点出发的、介于特征线x = t与x = ?t之间的光滑曲 线,且对一切 x,f (x) = 1. 8. 求解波动方程的初值问题 ? ? ? ? ? ?2 u ?t2 ? ?2 u ?x2 = t sin x, u|t=0 = 0, ?u ?t t=0 = sin x. 9. 求解波动方程的初值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? utt = a2 uxx + tx (1 + x2)2 , u|t=0 = 0, ut|t=0 =

1 1 + x2 .

7 § 2. 一维波动方程的初边值问题 本节我们介绍一维波动方程的初边值问题:首先介绍一些基本概念,然后介绍一种 常用的求解方法―分离变量法. 2.1 定解条件和定解问题 大家知道,弦振动方程 utt ? c2 uxx = f(t, x) (2.1) 是一个典型的双曲型方程,它是一个含有未知函数u(t, x)的关于自变量的二阶偏导数的 偏微分方程.对于一个偏微分方程来说,如果有一个函数u(t, x)具有方程中所需要的各 阶连续偏导数,且将它代入方程时,可以使方程恒成立,那么就称这个函数是该方程 的一个解 . .在实际应用中,往往将所讨论的问题归结为一个偏微分方程(组),然后从方 程(组)中求得解或者研究解的定 . 性.或定 . 量.性质. 偏微分方程往往可以看成是相应的物理规律的数学表述.例如,弦振动方程(2.1)描 述了弦作微小横振动时位移u(t, x)所满足的一般性物理规律,但是仅仅利用它还不能够 完全确定所考察弦的运动状况,这是因为弦的运动还要与它的初始状态和边界所在处 的状况有关,因此,还必须得给出一些描述这些状态或状况的相应的条件. 下面我们以弦振动方程为例来说明偏微分方程理论中的一些基本概念. 在弦振动问题中,弦的两端被固定在x = 0及x = L两端,因此有 u(t, 0) =

0 u(t, L) = 0. (2.2) 条件(2.2)式被称为方程(2.1)的::: 边:: 界::: 条::: 件.在初始时刻t = 0时弦的位置和速度为 u(0, x) = ?(x), ?u(t, x) ?t t=0 = ψ(x) (x ∈ [0, L]), (2.3) 通常称(2.3)式为::: 初::: 始:: 条::: 件. 边界条件和初始条件总称为方程(2.1)的:: 定::: 解::: 条::: 件.将方程(2.1)和定解条件(2.2)- (2.3)结合起来就得到下述的::: 定::: 解:: 问::: 题: utt ? c2 uxx = f(t, x) (t >