PDF《第三章 波动方程》

t) + t

0 wt(t, x;

τ)dτ = t

0 wt(t, x;

τ)dτ. utt = wt(t, x;

t) + t

0 wtt(t, x;

τ)dτ = t

0 wtt(t, x;

τ)dτ + f(t, x). (1.9) 另一方面,有uxx = t

0 wxx(t, x;

τ)dτ. (1.10) 于是, utt ? c2 uxx = t

0 wtt(t, x;

τ)dτ + f(t, x) ? c2 t

0 wxx(t, x;

τ)dτ = t

0 wtt(t, x;

τ) ? c2 wxx(t, x;

τ) dτ + f(t, x) = f(t, x). (1.11) 在上式中的第三个等式中我们利用了方程(1.3).(1.11)表明u(t, x)确实满足方程(1.1). 这样我们就证明了定理1.1. 齐次化原理也可以用下述方法得到. 我们知道,非齐次项f(t, x)表示时刻 t在 x处的单位质量所受的外力,而ut表示 质点的速度.把时间段[0, t]分成若干个小时段?ti = ti+1 ? ti (i = 1, 2,n),在 每个小时段?ti中,非齐次项f(t, x)可以看作与时间t无关,并以f(ti, x)来表示.由于f(ti, x) = F(ti, x) ρ (这里F(ti, x)表示外力,而ρ是密度函数),所以在时间段?ti内非齐 次项所产生的速度改变是为f(ti, x)?ti.我们把这个速度改变量看作是在时刻ti时的初

3 始速度,它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来 描述 wtt ? c2 wxx = 0, (1.12) t = ti : w = 0, wt = f(ti, x)?ti. (1.13) 记Cauchy问题(1.12)-(1.13)的解为w = w(t, x;

ti, ?ti).利用叠加原理,非齐次项f(t, x)所 产生的总的效果可以看成是许多个这种瞬间作用的叠加.于是,Cauchy问题(1.1) - (1.2)的解u = u(t, x)可以表示为 u(t, x) = lim ?ti→0 n i=1 w(t, x;

ti, ?ti). (1.14) 由于(1.12)是线性方程,所以w与?ti成正比,也就是说,如果记w(t, x;

τ)为如下齐次方 程的Cauchy问题 ? ? ? wtt ? c2 wxx =

0 (t >

τ), t = τ : w = 0, wt = f(τ, x) (1.15) 的解,则有 w(t, x;

ti, ?ti) = ?tiw(t, x;

ti). (1.16) 于是,Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为 u(t, x) = lim ?ti→0 n i=1 w(t, x;

ti, ?ti) = lim ?ti→0 n i=1 w(t, x;

ti)?ti = t

0 w(t, x;

τ)dτ. 这样,我们从另外一个角度重新得到定理1.1. 下面我们给出w(t, x;

τ)的具体表达式.为此,在Cauchy问题(1.15)中作变换? t = t ? τ,于是(1.15)便化为 ? ? ? w? t? t ? c2 wxx =

0 (? t >

0), ? t =

0 : w = 0, w? t = f(τ, x) (1.17) 的形式.这样,由D Alembert公式(见上一章中的(4.13)式)可知,Cauchy问题(1.17)的 解为 w(t, x;

τ) =

1 2c x+c? t x?c? t f(τ, ξ)dξ =

1 2c x+c(t?τ) x?c(t?τ) f(τ, ξ)dξ. (1.18) 再利用(1.6)式就可得到Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解为 u(t, x) =

1 2c t

0 x+c(t?τ) x?c(t?τ) f(τ, ξ)dξdτ =

1 2c ? f(τ, ξ)dξdτ, (1.19)

4 其中区域?为(τ, ξ)?平面上过点(t, x)向下做两特征线与ξ?轴所围成的三角形区域(见图1.1). -

6 τ (t, x)

0 ξ ? ξ ? x = ?c(τ ? t) ξ ? x = c(τ ? t) ? 图1.1. 三角形区域? 上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式.它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢?这一点还需要按照解的定义进行验证. 我们假设f ∈ C1 .由(1.19)式可知, ut =

1 2 t

0 [f(τ, x + c(t ? τ)) + f(τ, x ? c(t ? τ))] dτ, (1.20) utt = f(t, x) + c

2 t

0 [fx(τ, x + c(t ? τ)) ? fx(τ, x ? c(t ? τ))] dτ, (1.21) ux =

1 2c t

0 [f(τ, x + c(t ? τ)) ? f(τ, x ? c(t ? τ))] dτ, (1.22) uxx =

1 2c t

0 [fx(τ, x + c(t ? τ)) ? fx(τ, x ? c(t ? τ))] dτ. (1.23) 于是,有utt ? c2 uxx = f(t, x), 即u(t, x)满足方程(1.1).再由(1.19)式和(1.20)式可知 u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0, 即u(t, x)满足初始条件(1.2)式.因此,由(1.19)式定义的函数u(t, x)的确是Cauchy问题(1.1)-(1.2) 的解.