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1 数学教室中的数学史 温柔数学史 数学从何而来?算术永远都像你在学校中所学的方式运作吗?它 可能以其他方式运作吗?是哪些人想到代数的那些法则呢,同时,基 於什麽原因呢?而有关几何的事实与证明又如何呢? 数学就像文学、物理学、艺术、经济学或音乐,是人类不断成长 的努力成果.

它拥有过去与未来,当然也拥有现在.我们今日所学习 与使用的数学,在很多方面,迥异於一千年前、或五百年前,甚至於 一百年前的数学.无疑地,二十一世纪的数学也将演化成为一种不同 於二十世纪的东西.学习数学是什麽玩意儿,就像去t解另一个人. 你越t解某人的过去,你就越能t解他或她的现在与未来,并且与之 互动. 要想在任何层次上学好数学,你需要先理解相关问题,以便可以 将解答赋予意义.而要理解一个问题,通常依赖通晓某个概念的历 史.这个概念从何而来?为何它现在或过去显得重要?谁曾经想要这 一解答以及为什麽?数学发展的每一阶段,都建立在先前的成果上. 每一位该发展的贡献者,都曾经或现在是一个有著过去和某种观点的 人.针对他们的成果,他们如何反思以及为何如此思考,经常是我们 理解他们的贡献的一个关键性成分. 要想在任何层次上教好数学,你需要协助学生看到底蕴的问题所 在,以及将细节组织在一起的思维类型.对於这样的问题与类型之注 意,可以说是学校数学特别是那些基於 NCTM 标准所设计最佳 课程的商标.大部分学生,尤其是初年级,自然都对事物无从何而来 感到好奇.由於你的协助,那种好奇可以引导他们对於他们必须知道 的数学过程赋予意义. 这麽说来,在数学教室中使用数学史的好方法,究竟是什麽呢? 涌上心头的第一个答案,或许就是「说故事」历史轶事,或更一般 地,传记资讯.这里,有一个典型的场景.每当引进如何将一个等差 数列(arithmetic progression)求和时,教师通常告诉学生一个有关高 斯的故事: 数学教室中的数学史 当他十岁时(有些版本说成七岁),高斯的老师给他的班 级出了一道很长的题目,显然意在求个安静,让自己轻 一下.这个题目是要求将

1 到100 的数加起来.全班学生 开始埋头在他们各自的线条板上计算时,高斯却只是在他 的线条板上写上 5050,并且说:「这就是答案!」惊奇 万分的老师认为高斯只是猜对了,由於他自己也不知道答 案,就要求高斯保持安静,等班上其他学生计算好了,再 看看谁的答案正确.出乎意料之外,其他学生的答案也是 5050,证明了小高斯的答案果然正确.他究竟怎麽做的? 说这样的故事的确有一些用处.毕竟,这是一个有趣的故事,其 中有一位学生成了英雄人物,机智更胜於他的老师.这个故事本身将 让学生深感兴趣,而且他们或许会记住.由於牢记在他们的记忆中, 这个故事有如一个挂钩,可以在上面挂一个数学概念在本例中,这 是指算术数列的求和方法.就像大部分传记的评论一样,这个故事也 提醒学生,有真实的人物在他们所学习的数学背后,同时,某人也必 须发现这一公式,并掌握这一概念.最后,特别是当故事照上述方式 来说时,这个故事可以引导班级学生自己发现公式.(毕竟,如果一 个十岁小孩可以做得到……). 然而,这个例子也引发了一些问题.那个故事出现在很多不同的 文献上,而且有好几个不同版本.所求总和经常是另一个更复杂的算 术数列.至於老师的愚蠢,有时还被他对高斯的态度之过当反应所强 化.这些变貌都引起了这则故事的真实性之质疑.它真的发生了吗? 我们如何得知?它有意义吗? 在某种程度上,它是否真实之意义不大,但是,教师可能会对告 知学生一个可能没那麽真实的故事耿耿於怀.在我们的例子中,某些 问题其实并不是那麽难以搞定.这个故事,是由高斯本人老年时告诉 他的朋友,因此,没有特别理由怀疑它的真实性,尽管不无可能加油 添醋,就像很多老人喜欢吹嘘当年勇一样.最原始版本似乎提到一个 温柔数学史 涉及很大数目且为非特定的算术数列,但是,整体来说,上述版本好 像也没有那麽离谱.不幸地,要确定一个轶事是否为真,并非易事. 所以,当教师使用一个轶事时,最好向学生口头上提一下说他们所 到的故事,并不必然是严谨的史实. 不过,使用历史或传记轶事的主要限制,经常由於它们只是略微 连结到数学而已.本书虽然包括一些这样的故事,1 但是,我们希望 导向在课堂上使用历史的一些其他方法,更紧密地将数学与历史交织 在一起. 其中之一,就是使用历史以提供宽广的俯瞰视野(broad overview).对於学生而言,学校数学的经验莫过於一些毫不相关的 片段资讯之随机组合.可是,这并不是数学被实际创造的真相.人们 为了某理由做事,而且通常以一种浩大的跨世代的合作,在前人的基 础上建立结构.历史资讯往往可以容许我们与学生分享这一个「大图 像」.同时,这种资讯也可用以说明为何某些概念被发展出来.例如,有关复数的素描 17,就说明了何以数学家会被引导去发明让学 生起初觉得奇怪的新种类之数. 大部分数学家研究种种的问题,而且,关键的洞识往往来自不同 学科的跨界与连结.这个「大图像」的部分,正指向下列事实:数 学不同部分的诸多连结的确存在.关注历史是察觉这些连结的一种方 法,而在课堂上使用历史,当然也可以协助学生察觉. 历史在对於知识内容加上脉络时,对於学习也颇有帮助.毕竟数 学是文化的产物.它是在特别的时间与地点由人们所创造,因此,经 常被那个脉络所影响.有关这一方面,一旦知道得更多一点,一定可 以帮助我们理解数学如何与其他人类活动调和一致.譬如说吧,在人 类历史上,数目一开始被发展而帮助政府藉以追踪食物生产之数, 这一个想法或许无助於我们学习算术,但是,它却将算术从一开始即 嵌入一个有意义的脉络中.这个想法也可以提醒我们思考数学在政府