PDF《2018 年度湖南省自然科学奖推荐公示》

2018 年度湖南省自然科学奖推荐公示

一、项目名称 几类分数阶微分方程的理论与数值方法

二、推荐单位意见 分数阶微分方程是一类具有广泛应用背景的数学模型,能更好描述许多复杂过 程和现象,其建模、理论、计算、应用已成为众多领域的研究热点.

该项目针对几类典型分数阶微分方程理论和数值计算中的一些关键问题率先进 行了深入系统研究,其主要科学发现有:发现了非线性时间分数阶系统的长时间收 缩性、耗散性及其代数衰减率,建立了相应理论,为分数阶系统稳定性研究奠定基 础;

发现并构造保能量辛可分 Runge-Kutta 方法, 实质推进 Hamilton 系统数值方法 保辛和能量公开问题的解决;

发现并提出空间分数阶 Schrodinger 方程的保质量差 分格式,为分数阶量子力学系统模拟提供了有效算法;

发现并提出变系数空间分数 阶对流扩散方程的加权差分方法,统一著名专家的相应工作;

发现并获求解分数阶 变分问题的有效新方法: 分数阶变分积分子;

发现并证明分数阶 Halanary 不等式和 离散空间分数阶嵌入不等式,为相关理论和数值分析提供有力工具. 该项目成果突出,发表了包括

8 篇代表性论文在内的一批高水平论文,在科学 上取得了突破性进展,被国内外学同行所公认和广泛引用,在国内外产生了显著的 学术影响.该项目研究成果具有重要的理论和应用价值,推动了微分方程数值方法 领域乃至计算与应用数学学科的发展,并被应用于神经网络、流体力学等领域. 同意推荐申报湖南省自然科学奖.

三、项目简介 分数阶微分方程在刻画具有遗传记忆特征或者非局部长程效应的复杂过程和现 象(如反常扩散)中通常比整数阶微分方程更准确.分数阶微分算子具有弱奇异性 及非局部特征:长期历史记忆性或空间全域相关性,这给高效数值方法构造及其理 论分析带来了挑战,主要体现在解的奇性、巨大的计算存储量和工作量,并导致长 时间数值模拟困难等.近年来,此类方程的建模、理论、计算已成为众多领域的研 究热点,并广泛应用于多孔介质、软物质、信号和图象、生物医学、控制等领域. 保结构算法在上世纪八十年代由著名数学家冯康先生在研究 Hamilton 系统辛 算法时奠定基础并发扬光大, 已表明它在长时间数值模拟上较传统算法有明显优势. 保结构已是设计数值算法的基本原则, 深刻影响着计算数学和科学工程计算的发展. 研究思路:项目开始时,保结构算法仅针对整数阶方程,而关于分数阶方程计 算的工作集中分数阶扩散类方程.但分数阶方程也存在守恒量及特性(如质量、能量、 对称性等) . 因此, 项目将保结构思想应用于分数阶微分方程数值方法的构造中, 以利于长时间数值模拟;

在关注分数阶扩散类方程数值方法的同时,重点研究空间 分数阶 Schr?dinger 方程、分数阶变分问题等其它典型分数阶方程的数值方法,也研 究非线性时间分数阶系统的稳定性. 主要研究内容:非线性时间分数阶系统的长时间稳定性、经典 Hamilton 系统保 辛保能量方法、空间分数阶 Schr?dinger 方程的守恒差分方法、 空间分数阶对流扩散 方程的差分方法、分数阶变分问题的变分积分子. 科学发现点和科学价值:(1) 发现了非线性时间分数阶泛函微分方程系统解的 长时间收缩性、耗散性及其代数衰减率,建立了相应理论和估计,为分数阶系统稳 定性研究奠定了基础;