PDF《带启动时间和工作故障的M/M/1/N排队系统性能分析》

working breakdown;

quasi birth and death process;

matrix geometric method;

performance analysis Citation: YANG Xijuan, LI Zhongxue, LI Suoping, et al. Performance analysis of M/M/1/N queue with setup time and working breakdown. Control Theory &

Applications, 2019, 36(4):

561 C

569 收稿日期: 2018?06?05;

录用日期: 2018?11?14. ?通信作者. E-mail: [email protected];

Tel.: +86 13609366919. 本文责任编委: 赵千川. 国家自然科学基金项目 (61663024), 欧盟国际合作项目 (573879), 教育部春晖计划合作科研项目 (Z2016001), 甘肃省重点研发计划项目 (18YF1GD099), 甘肃省中小企业创新基金项目(18CX5JA014), 兰州市人才创新创业项目(2017--RC--82), 兰州交通大学青年基金(2015007)资助. Supported by the National Natural Science Foundation of China (61663024), the EU International Cooperation Project (573879), the Ministry of Education Chunhui Plan (Z2016001), the Key Research and Development Project of Gansu Province (18YF1GD099), the Innovation Fund for Medium and Small-size Enterprise of Gansu Province (18CX5JA014), the Lanzhou Municipal Talent Innovation and the Entrepreneurship Project (2017--RC--82) and the Lanzhou Jiaotong University Youth Fund (2015007).

562 控制理论与应用第36 卷1引引引言 言言2012年,KALIDASS和KASTURI等[1] 将工作故 障策略引入了M/M/1排队系统. 所谓工作故障, 即服 务台在出现故障期间并不完全停止而是以较低的速 率为顾客服务. 比如, 当计算机中病毒后, 计算机的处 理速度会降低, 直至计算机病毒被查杀后, 其速度才 恢复正常. 同样, 系统中机器在故障后生产速度降低、 备用机器以及各种岗位人员临时找业务不熟练的同 事替班等均可以抽象成工作故障. 之后, HU和ZHU 等[2] 、 MA和CUI等[3] 分别对有负顾客、 启动时间和顾 客按服务器状态到达的具有工作故障的M/M/1排队 系统进行分析, 得到了稳态队长的分布. JIANG 和XIN[4] 对故障出现后维修延迟服从伯努利分布的具有 工作故障策略单服务台的排队系统进行了分析, 给出 稳态系统性能和稳态逗留时间的拉氏变换. LIOU[5] 对 带有不耐烦顾客和工作故障的M/M/1排队系统进行 了优化分析, 建立了系统关于服务速率的单目标和双 目标费用模型, 并使用粒子群算法和ε--约束方法对模 型分别进行求解. CHEN等[6] 在N策略M/M/1排队系 统中考虑了工作故障, 建立了系统单位时间的费用优 化函数, 使用两阶段优化方法得到费用最小时服务速 率的取值范围. YANG和CHEN[7] 则在有二次可选服 务的M/M/1排队系统中引入了工作故障策略, 得到系 统稳态队长的概率分布, 同时优化服务速率, 以得到 最小的系统单位时间所需费用. 同时, 工作故障策略被拓展到其他排队系统中. KIM和LEE[8] 将工作故障策略拓展到了M/G/1排队系 统, 研究了有备用服务台的M/G/1排队系统中两次故 障之间的时间周期及其系统队长和逗留时间的分布. RAJADURAI[9] 将工作故障和工作休假两种策略同时 应用到M/G/1排队系统, 求得了稳态队长的概率母函 数, 并分析了系统参数对系统性能的影响情况. LIU和SONG[10] 考虑了具有工作故障、 批量到达的MX /M/1 排队系统, 分析了稳态队长的概率母函数及其随机分 解, 得到了稳态条件下顾客等待时间分布的拉普拉斯 变换. YE和LIU[11] 分析了具有工作故障和马尔可夫 到达过程的MAP/M/1排队系统, 给出了求解稳态逗留 时间近似解的递归公式. JIANG和LIU[12] 对顾客需多 阶段服务的GI/M/1排队系统进行分析, 设定在各阶段 服务中均有可能发生故障, 给出了稳态队长和稳态逗 留时间分布的解析式. YANG和WU[13] 在有不耐烦顾 客的排队系统中引入了工作故障策略, 对瞬时和稳态 性能进行分析, 并给出了各系统参数对系统性能的敏 感性分析. LI和ZHANG[14] 则对采用工作故障的离散 时间Geo/Geo/1排队系统进行分析, 给出了系统稳态 的充要条件, 得到了系统队长、 逗留时间的期望等性 能指标, 并分析了与文献[1]中对应的连续时间排队系 统之间的关系. LAN和TANG[15] 在文献[14]的基础上, 考虑了顾客具有按服务器状态到达的可变达到率的 Geo/Geo/1排队系统, 得到了各系统参数对系统性能 的敏感性分析. 在应用方面, 学者们对具有工作故障策略的机器 维修问题进行了初探. YEN和WU等[16] 分析了可工作 故障的单个维修工的机器维修问题, 得到稳态概率及 各项性能指标, 建立和求解了针对系统中失效机器 数和维修工维修速度的费用优化模型. WANG 和LIOU[17] 得到了费用优化模型的最优失效机器数和维 修速度. LIOU[18] 对带有机器贮备的机器维修问题进 行研究, 在考虑多重休假和工作故障的策略下, 建立 以总利润为目标的优化模型, 得到最优的系统机器贮 备数和维修速率. YEN和CHEN等[19] 对带有机器贮备 和工作故障的机器维修问题的稳定性和敏感性进行 分析, 给出了系统稳定性和首次故障的平均时间的表 达式. CHEN[20] 在文献[19]的基础上, 为了提高服务 台的利用率, 引入了恢复机制, 并分析了系统各参数 对系统稳定性和首次故障的平均时间的影响情况. 综观上述文献, 仅在文献[13]中将缓冲区的容量 设定为有限, 其余均考虑的是无限缓冲的情况. 而在 实际生产过程中, 服务台从空闲到正式服务之前需要 一段准备时间, 即为启动时间. 而上述文献中仅有文 献[2]在研究具有工作故障的排队系统时考虑了启动 时间. 受文献[2]和文献[13]的启发, 本文在采用工作 故障策略的M/M/1排队系统中同时考虑启动时间和 有限缓存两个因素, 以填实在这方面研究的内容. 由 于工作故障、 启动时间和有限缓存的引入, 使得问题 扩展为二维Markov过程, 不能通过经典排队理论进行 求解, 增加了问题求解的难度. 本文解决的主要问题 是: 1) 建立带有启动时间和工作故障的M/M/1/N排队 系统的二维连续时间Markov过程;