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2 C-V 水平集模型 水平集方法的基本思想是将图像空间中的二维曲线嵌入到三维曲面中作为其零水平集. 当曲面演变时, 嵌入到三维曲面中的零水平集曲线也随之改变, 最终只要确定零水平集即可 确定移动曲面演化的结果. C-V 模型是由 Chan 和Vese 在2001 年提出的一种区域性的水平 集方法, 它利用曲线的内外灰度均值来促进水平集的演化. C-V 模型的能量泛函如下所示: E(c1, c2, C) = α inside(C) |u0(x, y) ? c1|

2 dxdy +β outside(C) |u0(x, y) ? c2|

2 dxdy +?・Length(C), 其中 C 表示光滑闭合的轮廓曲线, u0 表示源图像, c1 和c2 分别是演化曲线 C 内部和外部的 图像灰度均值, 一般情形下取 α = β = 1, ? 为正常数. 引入水平集函数 ?(x, y) 来代替演化 曲线 C, 并且规定点 (x, y) 在C的内部时, ?(x, y) >

0;

点(x, y) 在C的外部时, ?(x, y) <

0;

点(x, y) 在C上时, ?(x, y) = 0. 从而上述能量泛函可写为如下形式: E(c1, c2, C) = ? ? δε(?(x, y)) |??(x, y)|dxdy + α ? |u0(x, y) ? c1|

2 Hε(?(x, y))dxdy +β ? |u0(x, y) ? c2|

2 (1 ? Hε(?(x, y)))dxdy, 其中 Hε(z) 和δε(z) 分别是海氏函数 H(z) = 1, z ≥ 0, 0, z ≤

0 和狄拉克函数 δ(z) = d dz H(z) 的 正则化形式, ? 表示图像域. 上述能量泛函最小化问题可以通过求解能量泛函对应的欧拉方 程来实现, 从而得到如下的水平集演化方程 ?? ?t = δε(?)[? ・ div( ?? |??| ) ? α(u0 ? c1)2 + β(u0 ? c2)2 ], 其中 ?(0, x, y) = ?0(x, y) ∈ ?. 上式中的灰度均值 c1 和c2 可分别在每次迭代中采用如下的方式进行更新 c1(?) = ? u0(x, y)Hε(?(x, y))dxdy ? Hε(?(x, y))dxdy , c2(?) = ? u0(x, y)(1 ? Hε(?(x, y)))dxdy ? (1 ? Hε(?(x, y)))dxdy . (2.1) No.

4 付金明等: 基于小波多分辨率分析和改进窄带法的 C-V 水平集图像分割模型

869 3 小波分析在图像分割中的应用 小波分析由于具有良好的时频局部性和多分辨率分析的功能, 使其在图像处理中得到广 泛的应用. 利用小波分析可以实现对图像进行编码压缩、边缘提取、滤波、添加数字水印等 等. 3.1 基于小波多分辨率分析的图像边缘信息提取 首先利用二维离散小波对原图像进行 n 级MALLAT 分解, 然后计算第 i 层的高频分量 Hi, 它由水平、竖直和对角三部分组成, 对Hi 做归一化处理, 使之数据更加规范, 记处理后 的数据为 Hi, 将Hi 放大到原图像大小, 记为 cHi, 从而可以得到原图像的平均高频信息量: cH =

1 n i cHi . 边界的模糊程度能够从高频分量的幅值体现, 如果边界比较清晰, 高频分量 幅值较大;

反之, 边界较模糊, 高频分量幅值较小, 甚至在当前级别的小波分解中不明显, 需要 进行更高级别的分解, 这就是小波变换的多分辨率分析的优势. 3.2 基于小波分析的图像边缘点检测 小波变换的模极大值点对应于图像的边缘点, 所以可以利用检测模极大值点来获得图像 的边缘点. 首先对原图像上的每一个点进行二维离散小波变换并计算出其模值和幅角, 找出 模极大值点对应于原图像的突变点, 记下其位置, 得到原图像可能的轮廓边缘点和轮廓边缘 的感兴趣区域, 从而在利用 C-V 模型分割图像时, 初始曲线的设置可以通过连接图像的边缘 点及一些图像中点得到, 这样设置的好处在于初始曲线已经位于图像边缘附近, 从而只需较 少的迭代次数就可以得到分割结果. 此处只需得到可能的边缘点和图像边缘轮廓的感兴趣区 域, 从而去指导 C-V 模型中初始轮廓线的设置以及后续窄带的设置;