PDF《2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学》

2 2

2 2 0, 1( )

0 : x y C a b a b ? ? ? ? 的左、右焦点分别为

1 F ,

2 F ,过1F的直线与C 的两条渐近 线分别交于 A , B 两点.若1FAAB ? ???? ??? ? ,

1 2

0 F B F B ? ? ???? ???? ? ,则C 的离心率为

2 .

三、解答题:共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17・21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第

22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60 分. 17. (12 分) ABC ? 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c.设? ?

2 2 sin sin sin sin sin B C A B C ? ? ? . (1)求A;

(2)若22abc??,求sinC . 答案:解: (1)?

2 2 (sin sin ) sin sin sin B C A B C ? ? ? , 即ACBCB222sin sin sin sin sin ? ? ? , 由正弦定理化简得:

2 2

2 b c a bc ? ? ? ,

4 真题源于网络,星火仅作收集及整理,答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 由余弦定理:

2 2

2 1 cos

2 2

2 b c a bc A bc bc ? ? ? ? ? , 为?? 的内角,即(,),,

3A???(2)由题意得,

2 2 a b c ? ? ,由正弦定理化简得: C B A sin

2 sin sin

2 ? ? , ,

2 2 , (0, ),

3 3 A B C B A C C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即:

2 2 sin sin 2sin ,

3 3

3 6 sin cos ,

2 2

2 6 3sin ,

6 2

2 sin ,

6 2 A C C C C C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 化简得: 即得:

3 6

4 6

4 C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 (舍去), 即可得:

5 ,

12 C ? ?

4 6

2 4 sin

6 cos

4 cos

6 sin

4 6 sin

12 5 sin sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C

4 6

2 sin ? ? ? C . 18. (12 分) 如图,直四棱柱

1 1

1 1 ABCD A B C D ? 的底面是菱形,

1 4 AA ? ,

2 AB ? ,

60 BAD ? ? ? ,E ,M ,N 分别是 BC ,

1 BB ,

1 A D 的中点. (1)证明: MN ? 平面

1 C DE ;

5 真题源于网络,星火仅作收集及整理,答案仅供参考,准确答案请以官方发布为准 (2)求二面角

1 A MA N ? ? 的正弦值. 答案: (1)证明:连接 C B ME

1 , , 中点 分别是 BC BB E M , ,

1 ? , ? ? C B ME

1 2

1 // , 在正四棱柱中 ? C D A

1 1 //B , 中点 为DAN1???CBND

1 2

1 // ? ? ND // ME , 为平行四边形 四边形MNDE ? DE MN // ? , DE C MN

1 平面 又??,DE C DE

1 平面 ? , DE C MN

1 // 平面 ? . (2)如图所示,以DA为x轴, DE 为y轴,

1 DD 为z轴建系,

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0 ,

0 ,

2 ( A ? , )

4 ,

0 ,

2 (

1 A , )

2 ,

3 ,

1 ( M , )

2 ,

0 ,

1 ( N , ? ? ? ?, ? ? ???, 设面 M AA1 的法向量 ? ? ? ?, ?

0 3

2 0 z x y z ? ? ? ? ? , ? ? ? ?, ? ? ? ??? ? ? ? ?, 同理可得,面MN A1 的法向量 ??? ? ?, cos ,

5 10 sin ? ? ? , 即该二面角的正弦值为

10 5 . 19. (12 分) 已知抛物线

2 :

3 C y x ? 的焦点为 F ,斜率为

3 2 的直线l 与C 的交点为 A , B ,与x轴的交 P . (1)若4AF BF ? ? ,求l 的方程;

(2)若3AP PB ? ??? ? ??? ? ,求AB . 答案:(1)设3:2AB y x b ? ? , ? ?

1 1 , A x y , ? ?

2 2 , B x y ,

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2 2

2 3

9 3

1 0

2 4

3 y x b x b x b y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ?

1 2

4 1

3 x x b ? ? ? ,

1 2

1 2

3 4

2 2

2 p p AF BF x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

1 2

5 2 x x ? ? ? , ? ?

4 5

1 3

2 b ? ? ? , 解得

7 8 b ? ? , 即37:28AB y x ? ? , (2)由(1)可知 ? ?

1 2

4 1

3 x x b ? ? ? ,

2 1

2 4

9 x x b ? ,

3 :

2 AB y x b ? ? ,令0y?,23xb??,2,0