PDF《求最值问题的五种方法》

4 ) , B (cosx, sinx ) 连线的斜率, (B即 为单位圆上的点 ) , 则当直线AB为单位圆的切线时,其斜率为最大或最 小. 设过A点的单位圆的切线方程为y-

1 4 =k (x-2 ) , 即kx-y+

1 4 -2k=0. 则圆心到切线的距离为 |

1 4 -2k| 1+k2 姨=1,解得:k1=

3 4 , k2=-

5 12 .从而函数最大值为ymax=

4 3 *

3 4 =1;

最小值为ymin=

4 3 * (-

5 12 ) =-

5 9 . 点评: 本题是一道十分经典的题目, 通过观察函数式的 结构特征, 找出其几何意义, 借助数形结合和解析几何知识 完成本题的解答, 方法直观性强, 运算量较小.

三、 代换法 例3 已知函数f (x ) =2+log3x, x∈[1, 9], 求y=[f (x ) ]2 +f (x2 ) 的最大值. 解先求所求函数的定义域,依题意得 1≤x≤9 1≤x2 ≤ 姨9解得 x∈[1, 3]. 设u=log3x, u∈[0, 1],则y= [f (x ) ]2 +f (x2 ) = (2+log3x )

2 + 2+log3x2 =log3

2 x+6log3x+6 =u2 +6u+6 = (u+3 )

2 -3, ∴当u=1时, ymax=13. 点评: 换元法是一种常用的解题方法, 这种方法的本质 其实就是化归, 使所求式子化归成简洁的形式, 使问题的解 决更加简单........