PDF《电动力学》

电动力学

第五章:辐射电磁场,多极辐射 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.

edu.cn May 18,

2019 1 /

35 电磁波的产生机制: 电磁波是电磁场存在的基本形式. Maxwell 方程组告诉我们: 时变的电场、磁场相互激发,在空间中就形成了电磁波. 于是,产生电磁波的关键是产生随时间变化的电场和磁场.

1 从微观角度讲,产生电磁波的前提条件是荷电粒子做加速运 动. 运动电荷所产生的电场与磁场均是随时间变化的. 电荷 做加速运动时,其产生的时变电磁场的能量原则上可以传播 到无限远.

2 从宏观角度讲,产生电磁波的前提条件是存在随时间变化的 电流分布, 例如频率为 ω 的交变电流密度矢量: ? J(? x, t) =? J(? x)eiωt 电磁波由载有交变电流的天线辐射出来. 以下讨论宏观电荷体系在其线度远小于电磁波波长情形下激发辐 射电磁场的物理机制.

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35 计算辐射场的一般公式: 当交变电流分布给定时,计算辐射电磁场的基础是 Lorenz 规范中 的推迟势公式: ? A(t,? x) = ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′, t ? r/c) r 此处 r = |? x ?? x′|. 设交变电流分布随时间的周期性变化具有确定 的频率 ω, ? J(t,? x) =? J(? x) e?iωt 则: ? A(t,? x) = ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) exp [ ? iω(t ? r/c) ] r = [ ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) eiωr/c r ] e?iωt = ? A(? x)e?iωt 即电磁波的频率也将是 ω, 这里, ? A(? x) = ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) eikr r

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35 计算辐射场的一般公式

(二): 式中, k = ω/c eikr 是 推迟作用因子 ,表示电磁波从交变电流所在地点传播至 场点的过程中有位相滞后 kr. 对于频率确定的交变电流而言,由矢势 ? A 的上述表达式出发可以 完全确定电磁场:

1 电磁场的磁感应强度 ? B 可通过直接计算矢势的旋度求得: ? B = ? * ? A

2 求出 ? B 后,电场强度 ? E 可由 Maxwell 方程求得. 在电流分布 区域之外,? J = 0,Maxwell 方程写为: ? * ? B = ?0?0?t ? E = ? iω c2 ? E = ? ik c ? E 所以, ? E = ic k ? * ? B

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35 矢势的展开式: Lorenz 规范中,具有确定频率 ω 的交变电流所激发的电磁场由推 迟矢势 ? A(? x) = ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) eikr r 描写. 这里有三个 线度 值得注意:

1 电流分布区域 V 的线度:l ?

3 √ V.

2 电磁波的波长: λ = 2π k = 2πc ω

3 场点到电流分布区域的距离:r = |? x ?? x′|. 为简单起见,我们仅研究分布于一个 小区域 内的交变电流所 产生的辐射电磁场. 所谓 小区域 ,指的就是其线度远小于电磁波的波长以及观测 距离 r : l ? λ , l ? r .

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35 矢势的展开式

(二): 至于 r 与λ的关系,又可以区别三种情况:

1 近场区:r ? λ

2 感应区:r ? λ

3 辐射区:r ? λ 三个区域中电磁场的特点是不同的: 在近场区,r ? λ ? kr ? 1,从而推迟因子 eikr ≈ 1, ? A(? x) ≈ ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) r 这是静磁场的矢势. 即电磁场近似表现为静磁场. 在远场区,r ? λ ? kr ? 1,从而推迟因子 eikr 的贡献不可 忽略. 通常是在远场区接收电磁波,需要计算远场才能确定 辐射功率和角分布. 这是我们的主要研究对象. 感应区是一个过渡区.

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35 矢势的展开式

(三): 建立坐标系,把坐标原点选择在电流的分布 区域 V 内. 如此,|? x′| 的数量级为 l ?

3 √ V. 设 远处场点 P 相对于原点的位置矢量为: ? x = R? eR , R ? l , 则P点与电流元? J(? x′)d3x′ 之间的距离可表为: r = |? x ?? x′ | = |R? eR ?? x′ | = √ R2 ? 2R? eR ・? x′ +? x′ ・? x′ ≈ R [