PDF《电动力学》

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1 R ? eR ・? x′ ] 即: r ≈ R ?? eR ・? x′ 从而, ? A(? x) ≈ ?0 4π ∫ V d3 x′ ? J(? x′) exp[ik(R ?? eR ・? x′)] R ?? eR ・? x′

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35 矢势的展开式

(四): 或者, ? A(? x) ≈ ?0eikR 4π R ∫ V d3 x′ ? J(? x′) exp [ ? i 2π? eR ・? x′/λ ]

1 ?? eR ・? x′/R 式中出现了两个小参数,即? x′/λ 和? x′/R. 可以把推迟势对于这 两个小参数做 Taylor 展开. 在计算远场区的矢势时,只需保留 1/R 的最低次项,但需保留对位相因子中小参数? x′/λ 展开的各级 项. 所以, ? A(? x) ≈ ?0eikR 4π R ∫ V d3 x′ ? J(? x′ ) exp ( ? i 2π? eR ・? x′ /λ ) ≈ ?0eikR 4π R +∞ ∑ n=0 (?i 2π/λ)n n! ∫ V d3 x′ ? J(? x′ ) (? eR ・? x′ )n ≈ ?0eikR 4π R ∫ V d3 x′ ? J(? x′ ) (

1 ? i 2π λ ? eR ・? x′ + ・ ・ ・ ) 最后一式中的各项对应于各级电磁多极辐射.

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35 数学恒等式: 为了看清推迟矢势多极展开各项的物理意义,类似于静磁情形, 现在构造一个数学恒等式. 我们已经约定电流分布于小区域 V 中, 没有电流溢出 V 的边界面 S. 所以,若以 f, g 表示源点坐标的两 个任意的标量函数,则有: S [ f(? x′ ) g(? x′ )? J(? x′ ) ] ・ d? s′ =

0 可以利用奥高定理将此式左端改写为区域 V 上的体积分: ∫ V d3 x′ ?′ ・ [ f(? x′ ) g(? x′ )? J(? x′ ) ] 注意到, ?′ ・ (fg? J) = (f?′ g + g?′ f) ・? J + fg?′ ・? J 以及交变电流情形下的电荷守恒定律:?′ ・? J(? x′) = iωρ(? x′), 我们 有: ∫ V d3 x′ [ f? J(? x′ ) ・ ?′ g + g? J(? x′ ) ・ ?′ f ] = ?iω ∫ V d3 x′ fg ρ(? x′ )

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35 数学恒等式

(二): 取f=1, g = x′ i. 在直角坐标系中, ?′ f = 0, ?′ g =? ej?′ j x′ i =? ejδij =? ei 上述数学恒等式退化为: ?iω ∫ V d3 x′ x′ iρ(? x′ ) = ∫ V d3 x′? J(? x′ ) ・? ei = ∫ V d3 x′ Ji(? x′ ) 鉴于直角坐标系基矢是常矢量, 上式的成立意味着: ∫ V d3 x′? J(? x′ ) = ?iω? p = B ? p 式中的? p 代表电流分布的电偶极矩:? p = ∫ V d3x′ ρ(? x′)? x′ . 所以,推迟矢势多极展开的首项描写电偶极辐射: ? A(0) (? x) = ?0 4πR ∫ V d3 x′? J(? x′ ) = ?0eikR 4πR B ? p

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35 数学恒等式

(三): 取f=x′ i, g = x′ k. 在直角坐标系中, ?′ f =? ej?′ j x′ i =? ejδij =? ei, ?′ g =? ek 上述数学恒等式退化为: ?iω ∫ V d3 x′ x′ ix′ k ρ(? x′ ) = ∫ V d3 x′ [ x′ i Jk(? x′ ) + x′ k Ji(? x′ ) ] 回忆电荷体系的电四极矩定义, Dij =

3 ∫ V d3 x′ x′ ix′ jρ(? x′ ) 这个恒等式又可以写为: ∫ V d3 x′ [ x′ i Jk(? x′ ) + x′ k Ji(? x′ ) ] = ? iω

3 Dik =

1 3 B Dik

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35 数学恒等式

(四): 采用直角坐标系,可以把推迟矢势展开式的第二项表为: ? A(1)(? x) = ?i ?0 eikR 4πR ( 2π/λ ) ∫ V d3 x′? J(? x′ ) ( ? eR ・? x′ ) = ?i ?0k eikR 4πR2 ∫ V d3 x′? J(? x′ ) ( ? x ・? x′ ) = ?i ?0k eikR 4πR2 xi? ek ∫ V d3 x′ x′ i Jk(? x′ ) 上式中的积分还可进一步简化. 由上页求得的数学恒等式知: xi? ek ∫ V d3 x′ x′ i Jk(? x′ ) =

1 2 xi? ek ∫ V d3 x′ [ x′ i Jk(? x′ ) ? x′ k Ji(? x′ ) ] +

1 6 xi? ek B Dik =

1 2 xi? ek ∫ V d3 x′ ?ikl [ ? x′ *? J(? x′ ) ] l +

1 6 xi? ek B Dik = ?? x * [

1 2 ∫ V d3 x′ ? x′ *? J(? x′ ) ] +

1 6 xi? ek B Dik = ?? x * ? m +

1 6 xi? ek B Dik

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35 数学恒等式

(五): 式中的 ? m 由下式定义, ? m =

1 2 ∫ V d3 x′ ? x′ *? J(? x′ ) 它正是电流分布的磁偶极矩矢量. 所以,推迟矢势展开式的第二 项描写 磁偶极矩 与 电四极矩 所产生的辐射: ? A(1) (? x) = ?i ?0k eikR 4πR2 ( ? m *? x +