PDF《第五章 电磁波的辐射》

0 = ? ? A r A r r 有旋无源场(横场).这个规范的特点是 的纵 场部分完全由 描述(即 具有无旋性),横Er????场部分由 描述(即 具有无源性).由ArtA??rtAE????? = r r ? 可见 项对应库仑场 对应着感应 t ? ? ? E r A ? ? r 可见, 项对应库仑场 , 对应着感应 ? ? ? 库Et??场r场.感Eb) b) 洛仑兹规范 洛仑兹规范(Lorentz (Lorentz gauge) gauge) 洛仑兹规范条件为 ,即规

0 1

2 = ? ? + ? ? t C A ? r 定 是一个有旋有源场(即 包含横场和纵场两 部分),这个规范的特点是把势的基本方程化为 A r A r 部分),这个规范的特点是把势的基本方程化为 特别简单的对称形式. 、达朗贝尔 、达朗贝尔 方程 方程

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3、达朗贝尔 、达朗贝尔(d'

Alembert) (d'

Alembert)方程 方程 从Maxwell'

s equations 从Maxwell s equations ? ? = = ? ? E D D r r r ε ρ

0 ? ? ? ? ? ? ?? = ? A E E D D r r ? ε ρ

0 出发推导矢势 和标势 所满足的方程,得到: ? ? ?t ? A r ? 出发推导矢势 和标势 所满足的方程,得到: A ? ? ? ? ? = ? + ? ? ? ? ? ? ?

0 2

2 )

1 (

1 μ ? j A A A r r r r ? ? ? ? = ? ? + ? ? + ? ? ? ?

2 0

2 2

2 ) ( ρ ? μ A j t c A t c A r ? ? ? ? = ? ? ? + ?

0 ε ? A t a) a) 采用库仑规范 采用库仑规范 )

0 ( = ? ? A r a) a) 采用库仑规范 采用库仑规范 上述方程化为 )

0 ( = ? ? A ? ? ? ? = ?2 ε ρ ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? j A A r r r

0 2

2 2

2 2

0 ) (

1 1 μ ? ε 采用洛仑兹规范 采用洛仑兹规范 ? ? ? ? ? ? j t c t c A

0 2

2 2 ) ( μ ?

1 ?? r b) b) 采用洛仑兹规范 采用洛仑兹规范( ( ) )

0 1

2 = ? ? + ? ? t c A ? 上述方程化为 上述方程化为 ? ? ? ? ? = ? ? ? ? t c

0 2

2 2

2 1 ε ρ ? ? ? ? ? ? = ? ? ? j A A t c r r r

2 2

0 1 μ ε ? ? ? = ? ? ? j t c A

0 2

2 μ 这就是所谓达朗贝尔 达朗贝尔( ( d'

d'

Alembert Alembert ) )方程 方程.

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4、 、举例讨论 举例讨论 、 、举例讨论 举例讨论 试求单色平面电磁波的势 Solution Solution: : Solution Solution: : 单色平面电磁波在没有电荷,电流分布的自 由空间中传播 因而势方程(达朗贝尔方程在 由空间中传播,因而势方程(达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下)变为波动方程: ? ?2 ? ? ? ? = ? ? ? ?

0 1

2 2

2 2 t c ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ?

0 1

2 2 A A t c r r 其解的形式为: ? ? = ? ?

0 2

2 t c A ? ? ) ( t x k i ω r r ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ) ( ) (

0 t x k i t x k i e A A e ω ω ? ? r r r r ? ? ? = 0e A A 由Lorentz规范条件 ,即得

0 1

2 = ? ? + ? ? t c A ? r

1 i c A k i r r = ? + ? ω?

2 0 ) (

1 A k c r r ? = ω ?

2 这表明,只要给定了 ,就可以确定单色平面电 磁波 这是因为 ω A r 磁波,这是因为: 纵横AAkiAkiABrrrrrrr+*=*=*?=)(纵横纵横AkiAkirrrr*+*=A?r横Akirr*=0(对于单色平面波而言)

2 A E ik i A t ? ? ω ? ? r r r

2 ( ) c ik k A i A ω ω = ? ? + r r r r

2 2 ( ) c i k k A k A ω ? ? = ? ? ? ? ? r r r r

2 ( ) c i k k A ω ? ? = ? * * r r r ( ) i k k A ω * * c r r

2 B k c r r * ? = ω B n c r r * ? = ? 如果取 ,即只取 具有横向分量,那么 有横AArr=Ar从而得到:

0 = ? = ? 横AkAkrrrr从而得到:

0 2 = ? = A k c r r ? 因此有: ω ? * = * = * ? = A k i A k i A B r r r r r r ? ? ? ? ? ? * = * = * ? = 横AAAkiAkiABrrrrr??==???=????? = 横AiAitAtAEωω?其中: 如果采用库仑规范条件 势方程在自由空间中变 )

0 ( = ? A k r r 如果采用库仑规范条件,势方程在自由空间中变 为??